N-uplet
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En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection ordonnée de n objets. Les éléments sont aussi appelés composantes.
Si nous notons a1 le premier élément, a2 le deuxième élément, ..., an le nème élément, le n-uplet s'écrit : (a1,a2,...,an)
L'égalité des n-uplets se définit par
- (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn) ↔ a1=b1, a2=b2, ..., an=bn.
Un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...
Si E1, ..., En sont des ensembles alors l'ensemble des n-uplets (a1,a2,...,an) où a1 appartient à E1, ..., an appartient à En est le produit cartésien des ensembles E1, ..., En.
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[modifier] Exemples
- Les nombres complexes sont construits à partir de couples de réels.
- Les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de réels.
- Un quaternion peut être représenté par un quadruplet.
- En informatique théorique, un automate fini est représenté par un quintuplet.
[modifier] Formalisation
Formellement, un n-uplet peut être défini en terme d'ensemble par
- (a1,a2,...,an)={a1,{a1,{a2,{a2,{a3,{a3,...,{an-1,{an-1,an}}...}}}}
ou en utilisant une définition récursive :
- un 1-uplet (a1) est simplement a1;
- si x est un n-uplet, alors (x,an+1) (i.e. {x,{x,an+1}}) est un (n+1)-uplet.
Il est assez facile de démontrer que ces définitions sont équivalentes, cependant les ensembles obtenus sont très différents.
[modifier] Programmation
Beaucoup de langages de programmation supportent les n-uplets comme type de donnée, formés aussi bien d'objets tous de même type ou d'objets de types différents.
Le langage de programmation LISP a utilisé dès ses débuts la notion abstraite de paire pour créer toutes ses structures de n-uplets et de listes, de manière similaire à la définition récursive précédente.
