Anneau adélique

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En mathématiques et dans la théorie des nombres, l'anneau adèle est un anneau topologique contenant le corps des nombres rationnels (ou, plus généralement, un corps de nombres algébriques). Cela implique toutes les complétions du corps.

Le mot "adèle" est une abréviation pour "additive idele" ("idèle additif), et est aussi un prénom féminin français. Les adèles ont été appelés vecteurs de valuation ou répartitions avant 1950.

[modifier] Définitions

La complétion profinie des entiers $\hat{\mathbb{Z}}$ est la limite inverse des anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ :

$\hat{\mathbb{Z}} =\lim_{\leftarrow}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Par le théorème des restes chinois, il est isomorphe au produit de tous les entiers p-adiques :

$\hat{\mathbb{Z}} = \prod_{p} \mathbb{Z}_p$

L'anneau adélique entiers A_Z est le produit

$\mathbb{A}_\mathbb{Z} = \mathbb{R} \times \hat{\mathbb{Z}}$

L'anneau adélique (rationnels) A_Q est le produit tensoriel

$\mathbb{A}_\mathbb{Q} =\mathbb{Q}\otimes \mathbb{A}_\mathbb{Z}$

(topologisé, c’est-à-dire A_Z est un sous-anneau ouvert). Plus généralement, l'anneau adélique A_K d'un corps de nombres algébriques quelconque K est le produit tensoriel

$\mathbb{A}_\mathbb{K} =\mathbb{K}\otimes \mathbb{A}_\mathbb{Z}$

(topologisé comme le produit de deg(K) copies de A_Q).

L'anneau adéliques (rationnels) peut aussi être défini comme le produit restreint

$\mathbb{A}_\mathbb{Q} = \mathbb{R} \times {\prod_{p}}' \mathbb{Q}_p$

de toutes les complétions p-adiques $\mathbb{Q}_p$ et des nombres réels (ou en d'autres termes, comme le produit restreint de toutes les complétions des rationnels). Dans ce cas, le produit restreint signifie que pour un adèle $(a_\infty, a_2, a_3, a_5, ....)$ toutes mais un nombre fini de $a p$ sont des entiers p-adiques.

Les adèles d'un corps de fonction sur un corps fini peut être défini d'une manière similaire, comme le produit restreint de toutes les complétions.

[modifier] Propriétés

Les adèles rationnels $A$ sont un groupe localement compact avec les nombres rationnels $\mathbb{Q}$ contenus comme un sous-groupe discret co-compact. L'utilisation des anneaux adéliques en relation avec les transformations de Fourier a été exploitée dans la thèse de Tate. Une des propriétés-clef du groupe additif des adèles est qu'il est isomorphe à son dual de Pontryagin.

[modifier] Applications

L'anneau A est beaucoup utilisé dans des parties poussées de la théorie des nombres, souvent comme coefficients dans les groupes matriciels : c’est-à-dire, combiné avec la théorie des groupes algébriques pour construire les groupes algébriques adéliques. Le groupe idèle de la théorie du corps de classes apparait comme le groupe 1 x 1 des matrices inversibles sur les adèles. (Ce n'est pas le sous-ensemble topologique donné, comme l'inverse n'est pas continu dans cette topologie. À la place, les idèles sont identifiés avec le sous-ensemble clos de toutes les paires (x,y) de A x A avec xy=1, avec la topologie du sous-ensemble.)

Un niveau important dans le développement de la théorie a été la définition du nombre de Tamagawa pour un groupe algébrique adélique linéaire. C'est une mesure de volume reliant $G(\mathbb{Q})$ avec G(A), disant comment $G(\mathbb{Q})$ , qui est un groupe discret dans G(A), se trouve dans ce dernier. Une conjecture d'André Weil était que le nombre de Tamagawa était toujours 1 pour G simplement connecté. Ceci apparaissait du traitement moderne de Weil des résultats dans la théorie des formes quadratiques; la démonstration fut finalement complétée par Kottwitz.

Pendant ce temps, l'influence de l'idée du nombre de Tamagawa était tombée dans la théorie des variétés abéliennes. L'application par l'absurde marche, d'une manière directe quelconque. Mais pendant la formulation de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, la considération que pour une courbe elliptique E, le groupe des points rationnels $E(\mathbb{Q})$ doit être apporté dans la relation avec $E(\mathbb{Q}_p)$ était une motivation et une indication, sur la manière à partir de l'évidence numérique de la conjecture.