Action par conjugaison
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En mathématiques, dans la théorie des groupes, une action par conjugaison est un cas particulier d' action de groupe. L'ensemble X sur lequel agit le groupe G est ici le groupe G lui-même.
Dans cet article :
(G, * ) désigne un groupe, noté multiplicativement, de neutre e.
La loi * du groupe est le plus souvent sous-entendue.
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[modifier] Définitions
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- Soit g un élément de G, l'application de G dans G, qui à s associe gsg-1 est appelée automorphisme intérieur associé à g.
Cette application est bien bijective car elle est composée de deux bijections, une translation à droite et une translation à gauche, on vérifie le fait qu'elle est bien un morphisme :
On définit une nouvelle loi interne par :
-
- Cette loi interne de G constitue une action de groupe, appelée action de conjugaison.
Démonstration : on vérifie les deux conditions d'une action de groupe.
car e est le neutre de G
:
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- Pour tout g appartenant à G, la classe de g par l'action par conjugaison est appelée classe de conjugaison de g et est notée Cj(g). Tout élément de Cj(g) est appelé conjugué de g.
[modifier] Applications
- Les classes de conjugaison sont utilisées pour la démonstration du théorème de Wedderburn stipulant que tout corps fini est commutatif.
- Dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, les classes de conjugaison sont à la base de la définition des fonctions centrales d'un groupe fini, elles servent à définir l'espace vectoriel les caractères des représentations. Dans le même contexte, on les retrouve pour l'analyse du centre d'une algèbre d'un groupe.
- Les automorphismes intérieurs sont utilisés pour la démonstration des théorèmes de Sylow, du théorème de Frattini et dans de nombreuses démonstrations concernant les groupes.
[modifier] Propriétés
- Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence: .
- Un élément g de G laisse invariant tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G :
.
On peut donc restreindre l'action par conjugaison au groupe quotient G/Z(G). Alors fg = fg' ssi g = g' mod[Z(G)], où fg est l'automorphisme intérieur défini par .
- De même z opère identiquement sur x (l'action par conjugaison de z stabilise x) si et seulement si z est élément du centralisateur Zx de x. La formule des classes montre alors que, si Cx désigne la classe de congugaison de x :
- .
Remarque: La formule précédente montre en particulier que le cardinal de toute classe de conjugaison divise le cardinal de G.