Utilisateur:Wiz/Brouillon/Polynômes de Tchebychev

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En mathématiques, les polynômes de Tchebychev forment une suite de polynômes indexée par l'ensemble des entiers naturels, $\mathbb N$

On distingue deux familles de polynômes de Tchebychev :

les polynômes de Tchebychev de première espèce, $(T_n)_{n \in \mathbb N}\,$
les polynômes de Tchebychev de seconde espèce, $(U_n)_{n \in \mathbb N}\,$

Les polynômes de Tchebychev de première espèce jouent un rôle important en théorie de l'approximation, car leurs racines, aussi appelées nœuds de Tchebychev, sont utilisées comme nœuds dans l'interpolation polynomiale. L'interpolation polynomiale résultante minimise le problème du phénomène de Runge et fournit la meilleure approximation possible d'une fonction continue suivant la maximum norm.

Dans l'étude des équations différentielles, ils apparaissent comme solutions des équations différentielles de Tchebychev

$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0$

$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0$

pour les polynômes de première et de seconde espèce, respectivement. Ces équations sont des cas particuliers de l'équation différentielle de Sturm-Liouville.

Sommaire

1 Définitions

[modifier] Définitions

[modifier] Définition explicite

$T_n(x) = \sum_{k = 0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} C_n^{2 k} x^{n - 2 k} (x ^ 2 - 1) ^ k \,$

$U_n(x) = \sum_{k=0}^{\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil} C_{n + 1}^{2 k + 1} x^{n - 2 k} (x ^ 2 - 1) ^ k \,$

[modifier] Relation de récurrence

Les polynômes de Tchebychev de première espèce vérifient la relation de récurrence

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x) - T_n(x). \,$

Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce, quant à eux, vérifient la relation de récurrence

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_{n+2}(x) = 2xU_{n+1}(x) - U_n(x). \,$

[modifier] Fonctions génératrices

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac {1-tx}{1-2tx+t^2}.$

$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac {1}{1-2tx+t^2}.$

[modifier] Définition trigonométrique

Les polynômes de Tchebychev de première espèce peuvent être définis par l'identité trigonométrique

$T_n(\cos \theta)=\cos n\theta \,$

démonstration

On peut se persuader que cos nθ est un polynôme de degré n en cos θ à l'aide de la formule de Moivre.

$e^{in\theta}\,$	$=\,$	$(\cos \theta + i\sin \theta)^n\ =\ \cos n\theta + i\sin n\theta\,$
	$=\,$	$\sum_{k=0}^{n} i^k C_n^k \cos^{n-k} \theta \sin^k \theta\,$

En séparant parties réelles et imaginaires, il vient

$\cos n\theta\,$	$=\,$	$\sum_{p = 0}^{\left \lfloor \frac {n}{2} \right \rfloor} (-1)^p C_n^{2p} \cos^{n-2p} \theta \sin^{2p} \theta\,$
	$=\,$	$\sum_{p=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} (-1)^p C_n^{2p} \cos^{n-2p} \theta (1 - \cos^2 \theta)^{p}\,$

En particulier, si $\theta \in [0, \pi] \,$ , on peut poser $\theta = \arccos x, (x \in [-1,1]) \,$ et on obtient

$\cos( n\arccos x) = \sum_{p = 0}^{\left \lfloor \frac {n}{2} \right \rfloor} (-1)^p C_n^{2p} x^{n-2p} (1 - x^2)^{p}$

Le polynôme ainsi défini est le polynôme de Tchebychev de première espèce d'ordre n, $T n$ , tel que

$T_n(x) = \sum_{k = 0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} C_n^{2 k} x^{n - 2 k} (x ^ 2 - 1) ^ k \,$

Explicitement

$T_n(x) = \left\{ \begin{matrix} & \cos(n\arccos(x)) & \mbox{ , } \ x \in [-1,1] \\ & \cosh(n \, \mathrm{arcosh}(x)) & \mbox{ , } \ x \ge 1 \\ & (-1)^n \cosh(n \, \mathrm{arcosh}(-x)) & \mbox{ , } \ x \le -1 \\ \end{matrix}\right.$