Fonction génératrice

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Sommaire

1 En mathématiques
2 En probabilité

[modifier] En mathématiques

En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (a_n) est la série formelle définie par

$\sum a_nX^n$

On confond parfois la fonction génératrice et une fonction de la variable x. Cependant, il est utile de préciser qu'une fonction génératrice est avant tout une série formelle et que la fonction de la variable x correspondante risque de ne pas converger pour tout x.

fonction génératrice de la suite constante 1 : $\sum X^n = \frac{1}{1 - X}$
fonction génératrice de la suite (n) : $\sum nX^n = \frac{X}{(1-X)^2}$
fonction génératrice de la suite $(n 2)$ : $\sum n^2X^n = \frac{X(1+X)}{(1-X)^3}$
fonction génératrice de la suite $\frac{1}{n!}$ : $\sum \frac{X^n}{n!} = e^X$

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (a_n) définie par la série formelle $\sum a_n \frac{X^n}{n!}$ .

Lorsque l'on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z , $\sum a_n{(1/z)}^n$ , qui est beaucoup utilisée en traitement du signal et en asservissements.

[modifier] En probabilité

[modifier] Définition

Soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière:

$G_X(t)=\sum _{k=0} ^\infty P(X=k)t^k$

où P(X=k) est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k.

[modifier] Exemples pour les lois usuelles

Pour la loi de Poisson de paramètre $λ$ :

$P(X=k)= \frac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

$G^{poisson} _{\lambda}(t)=e^{\lambda(t-1)}$

Pour la loi binômiale de paramètres (n,p):

$P(X=k)= C^k _n p^k (1-p^k)$

$G^{binomiale}_{n,p}(t) = (1-p+pt)^n$

[modifier] Propriétés

Le rayon de convergence de cette série entière est toujours supérieur ou égal à 1.

On peut remarquer que

$G X (t) = E [t X]$

Si X admet une espérance $E [X]$ alors $G X$ et sa dérivée sont définies en t=1 et on a:

$E[X]= \frac{dG_X}{dt} (t=1)$

Si X admet une espérance $E [X]$ et une variance $V a r [X]$ alors $G X$ et ses dérivées première et seconde sont définies en t=1 et on a:

$Var[X]=\frac{d^2 G_X}{dt^2} (t=1) + \frac {dG_X} {dt} (t=1) - \left(\frac{dG_X}{dt} (t=1)\right)^2$

Si deux variables aléatoires réelles discrètes à valeurs dans $\mathbb{N}$ admettent la même fonction génératrice, alors elles ont la même loi de probabilité.