Utilisateur:Valvino/bac à sable

[modifier] Définition formelle

Même si la définition originelle de \pi est le rapport entre la circonférence du cercle et son diamètre, il est plus commode de définir \pi via d'autres voies, ce qui facilite les démonstrations concernant les propriétés de \pi.

[modifier] Exponentielle complexe =

Article détaillé : série entière.

Article détaillé : exponentielle.

La série entière

\sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!};

converge pour tout z \in \C. On définit ainsi une application de \C dans \C, appelé exponentielle, par

\begin{array}{r|ccc} \exp : & \C & \longrightarrow & \C \\ & z & \longmapsto & exp(z)=e^z=\sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}.\end{array}

L'application \exp définit alors un morphisme, qui est de plus surjectif et continu, du groupe (\C,+) sur le groupe (\C^*,\times).

[modifier] Définition

L'application \varphi: t \mapsto \exp(it) est un morphisme surjectif de groupes continu du groupe (\R,+) vers le groupe (\mathbb{U},\times) (où \mathbb{U}=\{ z \in \C\ |\ |z|=1\}) et il existe un unique a \in \R^*_+ tel que \mathrm{Ker}(\varphi)=a \Z.

On pose alors \pi=a/2.

[modifier] Lien avec la définition originelle

Même si cette définition est plus commode, car elle nous livre directement les propriétés de \pi en rapport avec la fonction exponentielle (il est difficile d'établir rigoureusement des liens entre analyse et géométrie euclidienne), il faut vérifier que la définition formelle retombe bien sur la première démonstration.

On définit les fonctions cosinus et sinus par

\forall z \in \C,\qquad \cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2};\quad \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}.

On cherche alors à déterminer l