Union (mathématiques)

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[modifier] Définition

L'union des ensembles A et B

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On note l'union de A et B A ∪ B. En notation symbolique, c'est :

$\forall x,x\in A \cup B \Leftrightarrow ((x \in A) \lor (x \in B))$

Par exemple l'union des ensembles A={1,2,3} et B={2,3,4} est l'ensemble {1,2,3,4}.

En algèbre booléenne, l'union est associée à l'opérateur logique ou inclusif.

On généralise ce concept à une famille d'ensembles $(A_i)_{i\in I}$ . La réunion ou union des ensembles membres de cette famille est l'ensemble des éléments $x$ pour lesquels il existe un $i\in I$ tel que $x\in A_i$ . On le note alors $\bigcup_{i\in I}A_i$ .

[modifier] Propriétés algébriques

L'union est associative, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

L'union est commutative, i.e. pour des ensembles A et B quelconques, on a :

A ∪ B = B ∪ A

L'intersection est distributive sur l'union, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Opération binaire
numérique	fonctionnelle	en ensemble ordonné	structurelle
élémentaire + addition – soustraction × multiplication ÷ division ^ puissance arithmétique div quotient euclidien mod reste euclidien ∧ PGCD ∨ PPCM combinatoire ( ) coefficient binomial A arrangement	∘ composition ∗ convolution	ensemble de parties ∪ réunion \ complémentation ∩ intersection Δ différence symétrique ordre total min minimum max maximum treillis ∧ borne inférieure ∨ borne supérieure	ensembles × produit cartésien ⊔ union disjointe ^ puissance ensembliste groupes ⊕ somme directe ∗ produit libre ≀ produit en couronne modules ⊗ produit tensoriel Hom homomorphismes Tor torsion Ext extensions	arbres ∨ enracinement variétés connexes # somme connexe espaces pointés ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	vectorielle
	(.) produit scalaire ∧ produit vectoriel
	algébrique
	[,] crochet de Lie {,} crochet de Poisson ∧ produit extérieur
	homologique
	∪ cup-produit • produit d'intersection	séquentielle
	∪ cup-produit • produit d'intersection	+ concaténation
logique booléenne
∧ ET (conjonction)	∨ OU (disjonction)	⊕ OU exclusif	⇒ IMP (implication)	⇔ EQV (coïncidence)