Théorème de Zermelo
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En mathématiques, le théorème de Zermelo, appelé aussi théorème du bon ordre est un résultat de théorie des ensembles, démontré en 1904 par Ernst Zermelo qui affirme :
Théorème de Zermelo — Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre.
Ainsi, étant donné un ensemble X, il existe un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément.
Ce théorème est équivalent au lemme de Zorn, et donc à l'axiome du choix.
Montrons par exemple qu'il implique l'axiome du choix. Soient E un ensemble non vide, et 
l'ensemble de ses parties. Munissons E d'un bon ordre. Alors, pour une partie X non vide de E, pour choisir un élément de X, il suffit de prendre le plus petit élément de X.
Il est également assez simple de vérifier qu'il est impliqué par le lemme de Zorn. Soit E un ensemble, soit M l'ensemble des relations d'ordre sur E. M lui même peut être muni d'un ordre partiel: on dit qu'un ordre o1 prolonge l'ordre o2 si
On vérifie ensuite que M muni de la relation "prolonger" ainsi définie est un ensemble inductif. M est non vide (il existe toujours la relation triviale sur E, qui consiste à ne mettre en relation aucuns des éléments de E), donc M admet un plus grand élément. Ce plus grand élément est alors un bon ordre sur E.
