Théorème de Terquem

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Théorème dû à Olry Terquem :

Soit ABC un triangle, et trois céviennes concourantes du triangle. Le cercle passant par les pieds de ces céviennes détermine trois autres points sur les côtés du triangle. Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes. Ces six points sont appelés points de Terquem.

Image:Terquem.gif
Cévienne 
On appelle cévienne une droite d'un triangle issue d'un sommet et sécante avec le côté opposé.

[modifier] Cas particuliers

Lorsque les céviennes sont confondues deux à deux, le cercle est inscrit dans le triangle qu'il touche aux trois points doubles; ces céviennes sont concourantes au point de Gergonne.


Lorsqu'un des triplés est formé par les médianes, l'autre l'est par les hauteurs ou réciproquement, on a alors le cercle d'Euler.

[modifier] Démonstration

D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes on a :

\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\frac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\frac{\overline{C'A}}{\overline{C'B}} = -1

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à A'B'C' est

p = \overline{B'A} \times \overline{B_1A} = \overline{C'A} \times \overline{C_1A}

d'où les rapports égaux :

\frac{\overline{C'A}}{\overline{B'A}} = \frac{\overline{B_1A}}{\overline{C_1A}}

De même la puissance de B permet d'écrire

\frac{\overline{A'B}}{\overline{C'B}} = \frac{\overline{C_1B}}{\overline{A_1B}}

Enfin la puissance de C permet d'écrire

\frac{\overline{B'C}}{\overline{A'C}} = \frac{\overline{A_1C}}{\overline{B_1C}}

Le produit des trois rapports de gauche est égal à -1, d'où produit des rapports de droite est aussi égal à -1, et :

\frac{\overline{A_1C}}{\overline{A_1B}}\frac{\overline{B_1A}}{\overline{B_1C}}\frac{\overline{C_1B}}{\overline{C_1A}} = -1

D'après la réciproque du théorème de Céva, les trois droites (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes.