Théorème de Mahler
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Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème tire son nom de Kurt Mahler (1903 - 1988).
En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indicée :
- .
On note Δ l'opérateur de différence défini par
- .
Alors nous avons
c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur Δ et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est xn.
Énoncé — Si f est une fonction continue à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques, alors
- .
Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carson), on a seulement besoin de la continuité.
Si f est un polynôme avec des coefficients dans n'importe quel corps de caractéristique nulle, l'identité reste valable.