Théorème de Künneth

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En mathématiques, le théorème de Künneth est un résultat de topologie algébrique qui décrit l'homologie singulière du produit cartésien X × Y de deux espaces topologiques, en termes de groupes homologiques singuliers H_i(X, R) et H_j(X, R).

Il tient son nom du mathématicien allemand Otto Hermann Künneth (1892 – 1975).

Théorème de Künneth — Si X et Y sont CW-complexes et si R est un anneau principal, alors il existe des suites courtes exactes naturelles scindées^[1] :

$0 \rarr \bigoplus_i\left(H_i(X;R)\otimes_R H_{n-i}(Y;R)\right) \rarr H_n(X\times Y;R) \rarr \bigoplus_i \mathrm{Tor}_R \left( H_i(X;R), H_{n-i-1}(Y;R) \right) \rarr 0$

[modifier] Cas d'un corps

Si R est supposé être un corps, alors le résultat est une approximation du cas général : en effet, on n'a plus besoin d'invoquer le foncteur Tor. Ainsi, on peut énoncer le théorème de Künneth sous la forme :

$H_k(X \times Y) \cong \bigoplus_{i + j = k} H_i(X) \otimes H_j(Y)$

De plus, il existe une opération produit qui montre comment un i-cycle sur X et un j-cycle sur Y peuvent être combinés pour former un (i + j)-cycle sur X × Y ; de sorte qu'il existe une application linéaire explicite définie par la somme directe de H_k(X × Y).

Lorsque R est un corps, d'après le théorème de Künneth, cette application linéaire est un isomorphisme.

[modifier] Nombres de Betti d'un produit

Une conséquence du théorème de Künneth est que les nombres de Betti de X × Y sont déterminés par ceux de X de ceux de Y. L'énoncé revient à dire que si p_Z(t) est la fonction génératrice de la séquence des nombres de Betti b_k(Z) d'un espace Z, alors :

$p_{X \times Y}(t) = p_X(t) p_Y(t) \,\!$ .

Lorsqu'il y a un ensemble fini des nombres de Betti de X et de Y, chacun d'entre eux est un nombre naturel plutot que ∞, ce qu'on peut comprendre comme une identité des polynômes de Poincaré.

Dans le cas général, ce sont des séries formelles acceptant des coefficients ∞, et doivent être interprétées en tant que telles. De plus, les nombres de Betti sur un corps F, b_k(Z,F), vérifient le même genre de relation que b_k(Z,Q) pour les coefficients rationnels.