Théorème de König-Huyghens

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En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huyghens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

[modifier] Énoncé en probabilités

Le théorème de König-Huygens énonce :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X, on a :

E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]=E[X^2]-E[X]^2.

La démonstration est relativement simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :

  • Le développement du binôme de Newton ;
  • La linéarité de l'espérance en fonction de la variable aléatoire ;
  • L'espérance d'une constante vaut cette constante.

Ces trois propriétés rappelées impliquent :

E\bigl[(X-E[X])^2\bigr]=E[X^2]-2E[X]E[X]+E[X]^2.

[modifier] Énoncé en statistiques

Il stipule que, pour tout réel m' et pour toute série statistique (xi,ni)i = 1...k de moyenne m et d'effectif total n, on a

\frac 1n \sum_{i = 1}^k n_i(x_i - m)^2 = \frac 1n \sum_{i = 1}^k n_i(x_i - m')^2 - (m - m')^2

Pour m' = 0, on retrouve la simplification classique de la variance

V = \frac 1n \sum_{i = 1}^k n_ix_i^2 - m^2

Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne m est le barycentre du système pondéré {(xi,ni)}i = 1...k. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système {(Ai,ai)i = 1...k} de barycentre G :

\sum_{i = 1}^k a_i MA_i^2 = \sum_{i = 1}^k a_i GA_i^2 +\left( \sum_{i = 1}^k a_i\right) GM^2

En remplaçant G par m, M par m', ai par ni et Ai par xi, on obtient

\sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m')^2 = \sum_{i = 1}^k n_i (x_i - m)^2 + n (m' - m)^2

Ce qui est, à un facteur n près et à l'ordre près, la formule précédente.