Barycentre (géométrie affine)

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En géométrie affine, le barycentre de plusieurs points affectés de coefficients est un point annulant une certaine égalité vectorielle. Le calcul de barycentre est l'outil fondamental de la géométrie affine, comme la combinaison linéaire est celui de la géométrie vectorielle. Il permet de caractériser les variétés affines, les applications affines et la convexité.

En géométrie euclidienne, le barycentre est plus simplement le point situé au centre de plusieurs points, auxquels sont affectés des pondérations : voir Barycentre (géométrie euclidienne).

[modifier] Géométrie affine

[modifier] Définition mathématique

Soient $(A i) i = 1... n$ , n points d'un espace affine sur un corps $\mathbb K$ et soient $(a i) i = 1... n$ , n scalaires tels que leur somme soit non nulle, le barycentre des points $(A i) i = 1... n$ affectés des coefficients $(a i) i = 1... n$ est l'unique point G tel que

$\sum_{i=1}^n a_i\overrightarrow{GA_i}= \vec 0$ .

On trouve les notations suivantes pour le barycentre :

$G = \operatorname{bar}\left\{(A_i, a_i)\right\}_{i\in\{1 \ldots n\}}$

$\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)G = \sum_{i=1}^n a_i A_i$

L'existence et l'unicité de ce point G, pour peu que la somme des coefficients soit non nulle, se prouve aisément en utilisant la relation de Chasles.

[modifier] Propriétés immédiates

Commutativité : On peut changer l'ordre des points sans changer la valeur du barycentre tant que les points conservent leur coefficient.

Homogénéité : On peut multiplier tous les coefficients par un même scalaire k non nul sans changer la valeur du barycentre. On privilégie alors souvent les coefficients dont la somme vaut 1.

Associativité et dissociativité: Soit k un entier compris entre 1 et n-1 , si $\scriptstyle\sum_{i=1}^k a_i \ne 0$ , $\scriptstyle\sum_{i=k+1}^n a_i \ne 0$ et $\scriptstyle\sum_{i=1}^n a_i \ne 0$ , on peut parler de $G 1 = bar{(A i, a i)} i = 1... k$ , et de $G 2 = bar{(A i, a i)} i = k + 1... n$ , et l'on a l'égalité suivante :

$\operatorname{bar}\left\{(A_i, a_i)\right\}_{i\in\{1 \ldots n\}}=\operatorname{bar}\left\{\left(G_1, \sum_{i=1}^k a_i \right),\left(G_2, \sum_{i=k+1}^n a_i\right)\right\}$

Cette propriété se généralise à un regroupement de p sous-familles de coefficients.

[modifier] Coordonnées barycentriques

Si l'espace affine E est associé à un espace vectoriel V de dimension n, et si $(A i) i = 0... n$ sont n+1 points de l'espace affine, on dit que ces n+1 points forment un repère barycentrique si et seulement si les vecteurs $(\overrightarrow{A_0A_i})_{i=1...n}$ forment une base de V. On démontre, grâce à le relation de Chasles, que cette propriété est indépendante de l'ordre des points.

Si $(A i) i = 0... n$ forment un repère barycentrique de l'espace alors tout point M de cet espace peut être trouvé comme barycentre des $(A i) i = 0... n$ . La propriété d'homogénéité permet de dire que les coefficients $(a i) i = 0... n$ ne sont pas uniques (les multiplier par un scalaire k non nul, ne changera pas la position de M), on privilégie alors les coefficients $(a i) i = 0... n$ tels que leur somme vaut 1. Ils sont appelés coordonnées barycentriques de M.

[modifier] Variété affine

On appelle variété affine d'un espace affine E toute partie de E stable par prise de barycentre. On démontre que cette définition coïncide avec celle de sous-espace affine.

Le sous-espace affine engendré par une famille de n points $(A i) i = 1... n$ , est le plus petit ensemble contenant ces n points et stable par prise de barycentres.

Par exemple, le sous-espace affine engendré par deux points non confondus est une droite affine, et le sous-espace affine engendré par trois points non alignés est un plan affine.

[modifier] Segments, ensemble convexe

Si E est un espace affine sur ℝ. Si A et B sont deux points distincts de E, l'ensemble des points $M = bar{(A, k),(B,1 - k)}$ où k est élément de [0;1], est une partie de la droite (AB) appelé segment [AB]. C'est aussi l'ensemble des points $M = bar{A, a),(B, b)}$ où a et b sont deux réels positifs ou nuls.

Un ensemble stable par prise de barycentre avec coefficients toujours positifs ou nuls est un ensemble convexe.

L'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls, construit à l'aide des points $(A i) i = 1... n$ est appelé enveloppe convexe des points $(A i) i = 1... n$

[modifier] Application affine

Soit $f$ une application de $E 1$ dans $E 2$ , on dit que $f$ conserve le barycentre si et seulement si pour tout point $G = bar{(A i, a i)} i = 1... n$ , on a $f (G) = bar{(f (A i), a i)} i = 1... n$ . La propriété d'associativité du barycentre permet de se limiter à vérifier la conservation pour tout barycentre de 2 points.

On démontre que l'ensemble des applications de $E 1$ dans $E 2$ conservant le barycentre coïncide avec celui des applications affines de $E 1$ dans $E 2$ .

Certaines applications affines s'expriment bien à l'aide du barycentre.

Exemples :

Soient $A$ et $B$ deux points, la transformation qui, au point $M$ associe le point $M' = bar{(B,1),(A, - 1),(M,1)}$ est une translation, qui a pour vecteur $\overrightarrow{AB}$
Soit $C$ un point et $k$ un scalaire non nul. La transformation qui au point $M$ associe le point $M' = bar{(C,1 - k),(M, k)}$ est une homothétie, qui a pour centre $C$ et rapport $k$ .

[modifier] Quelques usages des barycentres en mathématiques

En géométrie affine, les barycentres facilitent grandement les problème d'alignement et de concours (trois points sont alignés dès que l'un des points est barycentre des deux autres) et permettent des démonstrations élégantes des théorèmes comme le théorème de Ménélaüs, le théorème de Céva ou les propriétés du quadrilatère complet. Il sert aussi à simplifier les fonctions de Leibniz.