Théorème de Jordan-Hölder

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Sommaire

1 Définition
- 1.1 Exemples
2 Le théorème de Jordan-Hölder
- 2.1 Exemples
3 Généralisation
4 Liens externes

[modifier] Définition

Soit G un groupe fini. On appelle suite de Jordan-Hölder une suite G₀, G₁, ..., G_n de groupes tels que :

G₀ soit le groupe nul et G_n soit G
G_i soit strictement inclus dans G_i+1
G_i soit distingué dans G_i+1

Une telle suite est dite maximale quand on ne peut introduire un groupe entre deux groupes.

[modifier] Exemples

Pour tout groupe fini G (excepté le groupe nul), la suite {e}, G est une suite de Jordan-Hölder. Elle n'est maximale que si G est simple.
$\left\{ e \right\} \subset A _ 3 \subset S _ 3$ est une suite de Jordan-Hölder maximale.
Un groupe est résoluble quand il admet une suite de Jordan-Hölder dont tous les quotients (G_i+1/G_i) sont commutatifs et, si la suite est maximale, les groupes quotients sont cycliques et d'ordre premier. C'est cette dernière assertion que Galois utilisa pour montrer que résoluble est équivalent à résoluble par radicaux.

[modifier] Le théorème de Jordan-Hölder

Soit G un groupe fini, alors :

G admet au moins une suite de Jordan-Hölder.
Toutes les suites maximales ont la même longueur.
Les quotients sont les mêmes mais peuvent être présentés dans un ordre différent.

[modifier] Exemples

Pour le groupe des nombres modulo 6, on a les deux suites maximales suivantes :
- $\left\{ 0 \right\} \subset \left\{ 0 , 2 , 4 \right\} \subset \mathbb Z / 6 \mathbb Z$
- $\left\{ 0 \right\} \subset \left\{ 0 , 3 \right\} \subset \mathbb Z / 6 \mathbb Z$

dont les quotients sont Z/3Z puis Z/2Z pour la première et Z/2Z puis Z/3Z pour la seconde.

[modifier] Généralisation

Dans le cadre des catégories (ou structures), on peut généraliser le concept des suites de Jordan-Hölder en remplaçant les inclusions par les monomorphismes (ou fonctions injectives) qui permettent d'avoir un quotient. Mais on n'a pas forcément le théorème de Jordan-Hölder.

Ainsi dans le cadre des espaces vectoriels un drapeau est une suite de Jordan-Hölder maximale, les quotients étant à chaque fois un espace vectoriel de dimension 1. Le théorème est valide et la taille d'une suite maximale est la dimension de l'espace vectoriel.