Théorème de Darboux (géométrie)

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Le théorème de Darboux est un théorème central de la géométrie symplectique : les variétés symplectiques de dimension $2 n$ sont deux à deux localement symplectomorphes. Plus explicitement :

Théorème de Darboux — Si $(M,ω)$ est une variété symplectique de dimension $2 n$ , alors, au voisinage de tout point de $M$ , il existe des coordonnées locales $(p, q) = (p 1,..., p n, q 1,..., q n)$ de sorte que, dans ces coordonnées, $ω$ s'exprime comme ceci :

$\omega=\mathrm dp\wedge \mathrm dq$

Ce résultat implique l'inexistence d'invariant local en géométrie symplectique. Cette situation s'oppose à la géométrie riemannienne pour laquelle il existe un invariant local de classe $C 2$ , la courbure.

Démonstration

La question est locale, et on peut fort bien supposer que la variété $M$ est un ouvert $U$ de $\R^n$ , étoilé en $0$ , et $ω$ est une 2-forme différentielle fermée et non dégénérée avec :

$\omega_0=\mathrm dp\wedge \mathrm dq$

Par une isotopie, on va déformer $ω$ en $ω 0$ . Rappelons que toute isotopie $Ψ t$ est le flot d'un champ de vecteurs dépendant du temps $X t$ .

Posons $\omega_t=t\cdot\omega+(1-t)\cdot\mathrm dp\wedge \mathrm dq$ .

Raisonnons par condition nécessaire. La formule de Cartan permet de dériver l'identité $\Phi_t^*\omega_t=\mathrm dp\wedge \mathrm dq$ :

$0=\Phi_t^*\left[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\omega_t+L_{X_t}\omega_t\right] \Longrightarrow \omega-\mathrm dp\wedge \mathrm dq=-\mathrm d\iota_{X_t}\omega_t$

La forme $\omega-\mathrm dp\wedge \mathrm dq$ est exacte sur l'ouvert étoilé $U$ , et donc s'écrit $dα$ où $α$ est une 1-forme différentielle. Pour des raisons de non-dégénérescence, il existe un unique champ de vecteurs dépendant du temps $X t$ implicitement défini par :

$\iota_{X_t}\omega_t=\alpha$

Si $Φ t$ est le flot, alors $Φ 1$ répond à la question.

Remarque : La démonstration est encore incomplète à ce stade !

Ainsi, la géométrie symplectique est essentiellement globale. Cependant, le théorème de Darboux conduit à des questions semi-locales :

Il répond à une question existentielle : Existe-t-il une carte locale telle que ... ? La preuve donne l'existence de la carte sur un domaine suffisamment petit. Renversons la question :

Quelle est la plus grande taille du domaine d'un morphisme symplectique d'un ouvert de $\R^n$ dans $(M,ω)$ ?

Cependant, quel sens donner au mot « taille » ? Soit $r, R > 0$ ; l'existence d'un symplectomorphisme $B(0,r)\rightarrow B(0,R)$ implique $r\leq R$ . La capacité symplectique d'une variété symplectique $(M,ω)$ est donnée par :