Symplectomorphisme
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Soient (M,ω) et (N,η) deux variétés symplectiques.
Une application différentiable est appelée morphisme symplectique lorsque, pour tout , la différentielle est une isométrie linéaire entre espaces vectoriels symplectiques. Autrement dit :
Comme ω est non dégénérée, les différentielles df(x) sont des isomorphismes linéaires, et de fait, par le théorème d'inversion locale, f est un difféomorphisme local. Lorsque f est un difféomorphisme, f est appelé un symplectomorphisme.
Exemples :
- Les translations de sont des symplectomorphismes.
- Les difféomorphismes hamiltoniens sont des symplectomorphismes.
Remarque : si est un revêtement, et que ω est une forme symplectique sur M, il existe une unique forme symplectique η sur P telle que π soit un morphisme symplectique.