Théorème de Cauchy-Kowalevski

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Le théorème de Cauchy-Kowalevski est un théorème d'analyse à plusieurs variables stipulant qu'une équation aux dérivées partielles du type équation de Klein-Gordon est bien posée, c'est-à-dire que cette équation admet une solution unique si les conditions initiales sur les fonctions concernées sont bien posées. Il est l'œuvre du mathématicien français Augustin Cauchy pour un cas particulier, et de Sofia Kovalevskaïa pour le cas général.

Plus précisément, ce théorème peut s'énoncer ainsi :

Théorème — Soient $t$ , $x 1$ , $x 2$ ,... $x n - 1$ des coordonnées de Rⁿ. Si l'on considère un système de $m$ équations aux dérivées partielles portant sur des fonctions $φ i$ , de la forme

$\frac{\partial^2 \phi_i}{\partial t^2} = F_i\left(t, x^a, \frac{\partial\phi_j}{\partial t}, \frac{\partial\phi_j}{\partial x^a}, \frac{\partial^2\phi_j}{\partial t \partial x^a}, \frac{\partial^2\phi_j }{\partial x^a\partial x^b}\right)\qquad(1)$ ,

où les fonctions $F i$ sont des fonctions analytiques de leurs variables, alors, si l'on pose les fonctions analytiques $f i (x a)$ et $g i (x a)$ , il existe un voisinage ouvert $O$ de l'hypersurface $t = t 0$ dans lequel il existe une solution analytique unique de (1) telle que

$\phi_i(t_0, x^a) = f_i(x^a) \quad{\text{et}}\quad \frac{\partial \phi_i}{\partial t}(t_0, x^a) = g_i (x^a)$ .

Le théorème de Cauchy-Kowalevski assure qu'une équation de type Klein-Gordon peut être bien posée, du moins quand les conditions initiales (sur $φ$ et sa dérivée temporelle à l'instant initial) sont analytiques. Le théorème reste cependant relativement faible. En particulier, il ne précise pas si la solution de l'équation est analytique, ou même simplement continue vis-à-vis des conditions initiales. Plus important, il ne précise pas non plus si une équation du type Klein Gordon se comporte de façon causale. Par exemple, si le champ est nul sur un intervalle $[ - x, x]$ à l'instant $t 0$ , l'on s'attend à ce que le champ reste nul en 0 jusqu'au temps $t 0 + x / c$ , ce que le théorème de Cauchy-Kowalevski ne précise pas (ne serait-ce que parce qu'une telle condition initiale serait non analytique et ne saurait être traitée par ce théorème).