Théorème de Borel-Cantelli

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Dans la théorie des probabilités, le Théorème de Borel-Cantelli, aussi appelé lemme de Borel-Cantelli, concerne une suite d'événements. Sous une forme un peu plus générale, il est également valable en théorie de la mesure.

Soit $(E n)$ une suite d'événements dans un espace probabilisé donné. Le théorème affirme que :

Théorème de Borel-Cantelli — Si la somme des probabilités de $E n$ est finie, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se réalise est nulle.

Notez que l'indépendance des événements n'est pas nécessaire.

Par exemple, supposons ( $X n$ ), une suite de variables aléatoires, avec $P (X n = 0) = 1 ⁄ n 2$ pour tout $n$ . La somme des $P (X n = 0)$ est finie^[1], donc d'après le théorème de Borel-Cantelli la probabilité que $X n = 0$ se produise pour une infinité de $n$ est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, $X n$ est non nul à partir d'un certain rang $n 0$ .

Pour des mesures spatiales générales, le théorème de Borel-Cantelli prend la forme suivante :

Théorème de Borel-Cantelli — Soit $μ$ une mesure d'un jeu $X$ , avec un $σ$ $F$ , et $(A n)$ une suite dans $F$ . Si

$\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)<\infty$ ,

alors

$\mu(\limsup A_n) = 0$ .

Pour voir que c'est une généralisation de la version citée plus haut, il suffit de vérifier que $lim sup A n$ est constituée des éléments de $X$ qui sont dans $A n$ pour une infinité de valeurs de $n$ .

Un résultat corollaire, parfois appelé le second lemme de Borel-Cantelli :

Second lemme de Borel-Cantelli — Si les événements $E n$ sont indépendants et que la somme des probabilités de $E n$ tend vers l'infini, alors la probabilité qu'une infinité d'entre eux se produisent est 1.