Théorème de Bernstein

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En analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques, le théorème de Bernstein établit que toute fonction à valeurs réelles sur la demi-droite [0, ∞) qui est totalement monotone est une combinaison (dans un cas important, une moyenne pondérée ou une espérance mathématique) d'exponentielles.

La monotonie totale (on dit aussi complète) d'une fonction f signifie que la relation :

$(-1)^n{d^n \over dt^n} f(t) \geq 0$

est vérifée pour tous les entiers naturels n et tous les réels t ≥ 0. La moyenne pondérée peut alors être caractérisée : il existe une mesure de Borel positive ou nulle sur [0, ∞), avec une fonction de distribution cumulative g telle que :

$f(t) = \int_0^\infty e^{-tx} \,dg(x),$

l'intégrale étant une intégrale selon Riemann-Stieltjes.

Dans un langage plus abstrait, le théorème caractérise les transformées de Laplace des mesures de Borel positives sur [0,∞). Sous cette forme, il est connu sous le nom de théorème de Bernstein-Widder, ou de Hausdorff-Bernstein-Widder. Hausdorff avait déjà caractérisé les séquences complètement monotones.