Théorème d'existence de Takagi

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En mathématiques et dans la théorie des corps de classes, le théorème d'existence de Takagi établit en partie que si $\mathbb{K}$ est un corps de nombres avec un groupe de classes G, il existe une unique extension abélienne L/K avec un groupe de Galois G, tel que chaque idéal dans $\mathbb{K}\,$ devient principal dans L, et que L est caractérisé par la propriété que c'est l'extension abélienne non ramifiée de $\mathbb{K}\,$ . Le théorème nous dit que le corps de classes de Hilbert conjecturé par Hilbert existe toujours, mais il a été exigé par Artin et Furtwängler pour démontrer que cette principalisation apparaît.

Plus généralement, le théorème d'existence nous dit qu'il existe une correspondance d'inclusions bijectives entre les extensions abéliennes de $\mathbb{K}\,$ et les groupes d'idéaux définis via des modules de $\mathbb{K}\,$ . Ici, un module (ou diviseur de rayon) est un produit formel des valuations (aussi appelé premiers ou places) sur $\mathbb{K}\,$ vers les exposants entiers positifs. Les valuations archimédiennes incluent seulement ceux dont les compléments sont des nombres réels; ils peuvent être identifiés avec les ordres sur $\mathbb{K}\,$ et apparaîssent seulement avec un exposant un.

Le module $\mu\,$ est un produit de parties archimédiennes $\alpha\,$ et de parties non-archimédiennes $\eta\,$ et $\eta\,$ peut être identifié avec un idéal dans l'anneau des entiers $\mathcal{O}_K\,$ de $\mathbb{K}\,$ . Le nombre de groupe mod $\eta\,$ de $\mathbb{K}\,$ , $\mathbb{K}_\eta\,$ , est le groupe multiplicative des fractions u/v avec u différent de zéro et v premier vers $\eta\,$ dans $\mathcal{O}_K\,$ . Le rayon ou unité de rayon du groupe de nombre mod $\mu\,$ de $\mathbb{K}\,$ , $\mathbb{K}_{\mu}^1\,$ , en plus des conditions sur u et v que $u \equiv v \mod \eta\,$ et u/v > 0 dans chacun des ordres d' $\alpha\,$ . Un groupe de nombre de rayon est maintenant un groupe se trouvant entre $\mathbb{K}_\eta\,$ et $\mathbb{K}_{\mu}^1\,$ et les groupes d'idéaux mod $\mu\,$ sont les idéaux fractionnaires premiers vers $\eta\,$ modulo un tel groupe de nombres de rayon. Ce sont ces groupes d'idéaux qui correspondent aux extensions abéliennes par le théorème d'existence.

Le théorème est dû à Teiji Takagi, qui le démontra pendant les années d'isolement de la Première Guerre mondiale et le présenta à la Conférence Internationale des Mathématiciens en 1920, conduisant au développement de la théorie classique de la théorie des corps de classes durant les années 20. À la demande de Hilbert, l'article fut publié dans Mathematische Annalen en 1925.