Discuter:Théorie des ensembles

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Si tout le monde est à peu près d'accord sur le contenu de la théorie naïve des ensembles, il existe par contre PLUSIEURS théories axiomatiques des ensembles, telles que:

  - la théorie de Zermelo-Fränkel (ZF en abrégé)
  - celle de von Neumann, Bernays et Gödel (NBG en abrégé)
  - ou encore celle des types de Russell
  - ...

La plus "sécurisée" est celle des types de Russell : il est certain qu'aucun paradoxe ne peut s'y nicher, mais elle est extrêmement lourde à l'usage.

La plus subtile est la théorie NBG qui introduit une notion de classe (ou plutôt d'univers) à côté des ensembles pour résoudre les paradoxes connus.

La plus employée demeure toutefois la théorie ZF, mais ses axiomes ont évolué au cours du temps...

De plus, il existe des variantes de cette théorie suivant que l'on accepte ou refuse certains axiomes (l'exemple le plus connu est celui de l'axiome du choix, qui affirme en substance qu'il est toujours possible de faire un choix au sein d'une infinité d'objets, ce que contestent les intuitionnistes)...

je suis d'accord, faudrait inclure tout ça dans la page. Tom 22 déc 2004 à 13:58 (CET)

On peut résoudre le paradoxe de Russell en considérant qu'il n'existe pas deux classes d'ensembles distincts (ceux qui s'appartiennent et ceux qui ne s'appartiennent pas) mais deux propriétés complémentaires d'un même ensemble. Ainsi, tout ensemble non vide serait en même temps élément et non élément de lui-même. Il est évident que cette démarche présuppose une approche nouvelle de la relation d'appartenance.

Ianop 4 juin 2007 à 09:46 (CEST)