Discuter:Théorie axiomatique des ensembles

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Sommaire

[modifier] Discussion générale

À propos de Les axiomes de choix et de regularité sont actuellement toujours contreversés par une minorité de mathématiciens; il y a des raisons à cela, j'essaierai de me renseigner. -- Looxix 14 oct 2003 à 01:41 (CEST)

Merci pour avoir terminer l'article : la traduction. Tu m'as enlevé une épine du pied. JM

J'ai reformulé la phrase au sujet de la controverse avec l'hiérarchie de Cantor pour la rendre moins ambigüe. Il reste en core un certain nombre de petites choses à finir. -- Looxix

Il me semble qu'il serait bien de distinguer mieux les différentes versions de la théorie. En effet, une fois introduit le schéma d'axiomes de remplacement, d'autres deviennent inutiles, l'axiome de la paire, par exemple. D'autre part, plusieurs axiomes sont facultatifs (on peut remplacer l'axiome de l'infini par sa négation et conserver une théorie consistante, par exemple). Par ailleurs, certains passages sont particulièrement obscurs (je ne suis moi-même pas sûr du sens).
Je veux bien bosser à tout ça mais j'hésite un peu sur le niveau de détail à adopter... jd 10 jun 2004 à 12:48 (CEST)


[modifier] logique brésilienne

Quand j'ai lu le début de cet article (qui me semble très bien), ayant besoin de savoir si quand on est en théorie des ensembles dans wikipedia on suppose ou on ne suppose pas vérifié l'axiome du choix, je suis tombé sur une phrase vantant la non contradiction de la logique brésilienne. Au départ, j'ai cru à un canular. Puis j'ai vu que si cela en est un, il est déjà dans la version anglaise qui a servi de base. J'ai envoyé "brazilian logic mortensen" dans scholar.google.com (j'ai dû ajouter Mortensen, trouvé dans la version anglaise de "logique brésilienne" pour éviter tous les congrès brésiliens de logique), j'ai obtenu une trentaine de réponses sur le sujet mais je n'ai pas essayé de lire un article ; ensuite, j'ai envoyé "brazilian logic" dans la base Mathscinet (la grande base de données bibliographique de l'AMS=american_mathematical_society ; il faut être abonné pour y accéder), et j'ai eu 0 résultats. J'en conclus que la logique brésilienne n'est pas un canular, que cela n'est guère des mathématiques mais peut-être de la logique aux confins de l'IA ; que le sujet était pour le moment anecdotique (surtout avec un article vide logique brésilienne depuis belle lurette) et j'ai donc supprimé. CD 20 jan 2005 à 03:32 (CET)

Serait-il possible qu'en fait de logique brésilienne il s'agisse de logique paraconsistente, effectivement étudiée notamment au Brésil ? DelTree 3 février 2006

[modifier] axiome de séparation et axiome de remplacement

Question : pourquoi l'axiome de séparation n'apparait pas dans la liste des neuf axiomes de la théorie ZFC, alors qu'il est mentionné deux lignes au-dessus de cette même liste ? 194.214.213.67 24 mar 2005 à 18:00 (CET)

C'est aussi ce qui m'a frappé à la lecture de cet article et il semblerait que l'axiome de remplacement de Fraenkel soit un renforcement de l'axiome de séparation de la théorie Zermelo. Aussi l'axiome de séparation peut s'énoncé comme ceci : Soit A un ensemble, et P une fonction définie sur les éléments de A et qui vaut vrai ou faux. Alors il existe un ensemble constitué par les éléments x de A pour lesquels P(x) vaut vrai.
J'avoue ne pas avoir les connaissances nécessaires pour faire les modifications adéquats dans l'article mais si quelqu'un pouvait se pencher dessus (au moins préciser que l'axiome de remplacement dans ZF modifie uniquement celui de séparation dans Z si cela est exact).
Viens alors la question de l'axiome de fondation. Viens t'il avec celui du choix pour former ZFC ou est-il déjà dans ZF ?
BenduKiwi [ | φ] 29 décembre 2005 à 03:37 (CET) - 29 décembre 2005 à 03:37 (CET)

Je confirme que l'axiome de séparation devrait être mentionné, ainsi que ses liens avec l'axiome de remplacement.DelTree 3 février 2006

C'est fait, sous le nom schéma d'axiomes de compréhension. Proz 14 août 2006 à 02:56 (CEST)

[modifier] Redondance

Les axiomes de l'ensemble vide et de la paire sont conséquences des autres. Mû 14 juin 2006

  • ensemble vide : c'est fait sous forme de commentaire, lors de la mention de cet axiome.
  • paire : à faire effectivement. Le mentionner sur cette page, et le démontrer dans l'article axiome de la paire ? [Fait]

Proz 14 août 2006 à 03:02 (CEST)

[modifier] axiome de l'infini et théorie naïve ?

Réponse à la question "pourquoi supprimer l'axiome de l'infini ?" dans la boite de résumé : je crois que Cantor n'avait pas du tout cherché à axiomatiser la th. des ensembles, donc ce qui est appellée "théorie naïve" dans l'article est une fiction historico-pédagogique, pas de l'histoire (que je ne connais pas ou mal). Je répond sur un plan de "logique interne". Pour l'axiome de l'infini : je ne vois pas pourquoi il serait nécessaire. On construit facilement une infinité d'ensembles distincts par compréhension. Si on a l'axiome de compréhension généralisé, l'ensemble de tous les ensembles est infini. Bien-sûr, comme il s'agit d'une théorie contradictoire, tout cela n'a pas grand sens (tout est démontrable). Mais je ne vois pas nécessité de mentionner un axiome de l'infini. Ceci dit ça ne me gêne pas plus que ça : puisqu'il y a question posée je répond. Proz 14 août 2006 à 02:52 (CEST)

Oui il est très peu probable que Cantor ait voulu axiomatiser la th. des ensembles vu la manière dont il s'y est pris. Tes arguments sont justes, il faudra sans doute revoir quelques passages mais pour l'heure l'axiome de l'infini est effectivement non nécessaire. Merci d'avoir éclairé ma lanterne. BenduKiwi [ | φ] - 14 août 2006 à 03:08 (CEST)

[modifier] Discussion de l'axiome du choix

Je n'aime pas cette discussion qui implique implicitement que tous les mathématiciens sont plantoniciens et partagent la même intuition. Assez curieusement les mathématiciens qui rejettent le plus l'axiome du choix sont les intuitionnistes. Cette discussion est d'autant plus étrange que le paragraphe suivant justifie le côté contre-intuitif de l'axiome du choix. On s'y perd.

Je pense que ce paragraphe doit être amélioré ou supprimé. J'y ai fait quelques corrections de pure forme, mais pas plus. Pierre de Lyon 17 décembre 2006 à 15:06 (CET)

Je suis d'accord pour supprimer dans l'état... Ca ne me semble pas correspondre à la réalité (en dehors de certaines applications comme celles du choix dépendant). Par ailleurs il me semble que les intuitionnistes (depuis Brouwer je dirais) rejettent en général la théorie des ensembles elle-même, l'infini achevé, et l'extensionnalité, encore plus que l'axiome du choix, qui est assez "innocent" dans leurs théories. En tout cas le paragraphe à ce sujet est également très contestable (confusion avec les objections des pré-intuitionnistes comme Borel ?). Proz 17 décembre 2006 à 16:51 (CET)

[modifier] Problème d'homonymie

Je copie une discussion ayant lieu ici, car elle est p.e. mal placée ;-). --Epsilon0 4 avril 2007 à 20:45 (CEST)

On a dans l'article : Théorie axiomatique des ensembles :

"Après coup, nous pouvons dire que Cantor utilisait tacitement l'axiome d'extensionnalité, et une forme très générale du schéma d'axiomes de compréhension. Cependant, ce dernier axiome conduit directement au paradoxe de Russell, quand on essaie de construire l'ensemble S = {A | A n'appartient pas à A} de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. "

Cette phrase est gênante car laisse à penser que l'actuel schéma d'axiomes de compréhension mène au paradoxe de Russell, ce qui est bien sûr faux.

Nous sommes là face a un problème de terminologie que j'ai mentionné aussi sur la page de discussion de Axiome de séparation : quel nom est donné historiquement (et devons nous sur wikipédia donner) pour désigner l'axiome (naïf?, formel? j'avoue ne pas savoir) qui menait au paradoxe de Russell et qui a été ultérieurement réformé sous les 2 noms d'"axiome (ou shéma d'axiomes, là n'est pas la question) de séparation" et de "schéma d'axiomes de compréhension" ? A ma connaissance on l'appelle "axiome de compréhension" , ce qui bien sûr prête à confusion.

Connaissez-vous d'autres nom?

Je suggèrerais d'appeler :

1. "axiome de compréhension", par défaut d'autre nom connu pour le désigner, l'axiome contradictoire initial i.e. l'extention d'un prédicat (propriété, disait-on avant?) est un ensemble. On pourrait aussi lui consacrer un article (de type historique) servant aussi pour le lecteur perdu à ne pas le confondre avec les autres axiomes.

2. "axiome de séparation" la reformulation non contradictoire de l'ax précédent le restreignant à un ens, i.e. Si A est un ens et P un prédicat (disons unaire) la classe des x appartenant à A tq Px est un ensemble.

3. "shéma d'axiomes de séparation" ce qui est ici (et dans bcp de manuels ... mais qui n'abordent pas forcément l'aspect historique) appelé "schéma d'axiomes de compréhension" (mais on pourrait en dire un mot dans l'article après renommage). pi de toute façon on se fout un peu de ce shéma car il découle de celui de remplacement et a un intérêt plus didactique/historique (justement!) que théorique  :-)

Cette solution a le désavantage de heurter l'usage, mais à ma connaissance personne en entendant le mot "séparation" (qui évoque, par son nom, l'intersection d'une classe avec un ensemble) ne va le confondre avec l'axiome initial contradictoire. Le français me semble avoir contrairement à l'anglais ces 2 mots "séparation" et "compréhension", on peut en tirer bénéfice (mais ça peut poser pb car l'essentiel des articles de logique sont en anglais).

Maintenant je ne sais pas trop, y a t-il dans l'usage du terme "axiome de séparation" une nuance de type axiome naïf ou axiome du 2ème ordre qui sert justement à le distinguer d'un "shéma" axiomatique d'axiomes du premier ordre, ce qui rendrait le choix que je propose peu judicieux?

Donc : - Connaissez vous un nom non-ambigu pour désigner cet axiome contradictoire (et où quand comment il a été formulé?), et par défaut

- (mais seulement par défaut) que pensez vous de ma suggession? Maintenant quelque soit le choix fait il faudra harmoniser cette décision dans tous les articles, le but étant bien sûr que le lecteur de bonne volonté ait les moyens de , euh, ... comprendre ce qui lui est dit sans schizophrénie (séparation). Ok je sorts -->

p.s : je viens de créer l'article Axiome d'anti-fondation assez rapidement (yaveh pas) et de manière entièrement informel, si vous pouvez relire (tout amender, virer mes POV etc ...[bref tout casser :-)] et surtout donner les bonnes définitions amenant à l'énoncé exact), bah se serait bien (en l'état c'est un brouillon qui n'a comme légitimité que de boucher un trou). --Epsilon0 30 mars 2007 à 21:53 (CEST)

Dans son ouvrage "Axiomatic set theory", P.SUPPES utilise la dénomination "abstraction axiom" pour l'axiome de compréhension sans restriction menant au paradoxe de Russell. CBerlioz 2 avril 2007 à 22:40 (CEST)

Je ne connais a pas grand chose en théorie axiomatique des ensembles, mais ma référence est le livre de Jean-Lous Krivine. Quelle est sa position sur cette terminologie? Il me paraitrait hasardeux de créer pour Wikipédia notre propre terminologie. Question: Cantor avait-il une notion d'axiomes? Pierre de Lyon 3 avril 2007 à 02:00 (CEST)
  • Tout à fait d'accord pour ne pas créer une terminologie, je laisse donc la question en suspend le temps que quelqu'un puisse corroborer l'usage non ambigu que j'utilise (sans lui en connaître une source fiable), ou l'infirmer (!).
  • Il est à noter que trouver des sources est difficile car peu d'ouvrages (surtout en français) parlent (en lui donnant un nom; ce peut être "notez que telle formule ... contrad, ce qui historiquement ...") à la fois de cet axiome contradictoire et des axiomes contemporains, ce qui leur permettent d'utiliser le mot "compréhension" en des sens différents (selon les ouvrages) sans risque d'homonymie (au sein du même ouvrage); ... mais c'est pas le cas sur wikipédia, d'où le pb.
  • Sur les interventions  :
    • "axiome d'abstraction", pourquoi pas, mais c'est la première fois que j'entend cette expression (on est vraiment dans un grand flou terminologique) et le risque de confusion avec le symbole d'abstraction, lambda, du lambda calcul me semble à éviter (certaines théories mèlent lambda calcul et ZF, par ex "Map Theory"). Mais si c'est le terme usuel TB.
    • A mon souvenir l'ouvrage de Krivine (enfin il en a consacré 2 à +- 35 ans d'intervalle) ne s'interresse pas du tout au passé de la discipline et vole vers les thms de cohérences relatives / AC et HC; donc pas de pb d'homonymie.
    • Sur l'origine de l'usage contemporain du mot "axiome", je ne sais pas trop : au pif je dirais que Hilbert est p.e. (après Cantor?) le 1er. Et pour les axiomes de la théorie des ensembles, me semble que les premières formulations sont de Russell et Whitehead dans les principia mathematica. Donc pour répondre à la question, je ne crois pas que Cantor ait utilisé le mot "axiome" au sens contemporain du terme; mais je peux me tromper.
  • Bref
    • Je vais tenter de reformuler la phrase ambigüe de Théorie axiomatique des ensembles.pour ne pas laisser qqch de faux/ambigu, en croisant les doigts pour que le pb ne se repose plus.
    • Sans doute un jour un bon en théorie des ensembles (+histoire), je ne suis pas non plus expert, saura trouver la terminologie qui va bien dans les cas où il pourrait y avoir pb.
    • Et je copie cette page de discussion sur l'article sus-cité où il a p.e. plus de chance de trouver résolution.

--Epsilon0 4 avril 2007 à 20:36 (CEST)

1. Cantor n'a pas cherché à axiomatiser la théorie des ensembles. Au moins à partir de la fin des années 90 (97 d'après sa correspondance), il distinguait parmi les classes les ensembles des classes propres (avec une autre terminologie et des définitions imprécises, que seul lui était capable de manier avec justesse, en caricaturant un peu). Donc la soi disante théorie de Cantor fondée sur la compréhension générale et l'extensionnalité est une astuce pédagogique utile mais est doublement fausse historiquement : la théorie de Cantor n'est pas formelle, en particulier le langage n'est pas défini formellement, meme si Cantor ne pense pas que toute propriété définisse une classe, et il ne pense pas que toute propriété définisse un ensemble. Je propose le faire disparaître de l'article en tant que fait historique.

3. Le livre de Krivine dit bien "compréhension" (le livre de 199* est à peu près la réédition de celui de 196* complété par une deuxième partie sur le forcing). C'est un terme aujourd'hui bien plus utilisé en français que séparation, à ma connaissance, les deux doivent apparaître de toute façon. Je suis pour que le nom par défaut reste "schéma d'axiomes de compréhension".

4. Il s'agit de schémas d'axiomes et non d'axiomes, au premier ordre dans le cadre logique usuel pour formaliser la théorie des ensembles (une seule sorte d'objet, les classes sont des façons de parler des prédicats). Il me parait donc exclu de nommer les articles "axiome de ...". Il me semble qu'"axiome de séparation" est inutile est devrait rediriger vers "schéma d'axiomes de compréhension". Par ailleurs je ne pense pas que "l'on se foute de ce schéma" qui suffit largement (vis à vis du remplacement) pour les mathématiques en dehors de la théorie des ensembles. Enfin il est assez inutile de chercher un nom non ambigu pour le schéma d'axiome de compréhension non restreint, qui est contradictoire. Je ne trouvais pas la formulation précédente de cet article ambiguë. L'actuelle me va aussi en dehors du fait que c'est faux historiquement (mais ça l'était déjà), et que ça va un peu trop dans le détail.

5. la première formulation axiomatique de la théorie des ensembles c'est Zermelo 1908 (l'axiomatique de Zermelo), l'axiome du choix vient avant (1904ou5). Les principia datent de 1910, mais il y a un article de Russell de 1908 également qui jette les grandes lignes. Mais la théorie des types formalise aussi la logique, ce n'est pas que de la théorie des ensembles.

Je modifie en ce sens. Ce sera encore un brouillon.

Je propose également, en attendant mieux, d'effacer le dernier paragraphe sur l'indépendance qui est franchement obscur, et pas très cohérent. Proz 5 avril 2007 à 01:11 (CEST)

Les modifications faites me semblent satisfaisantes :

1. Je n'étais pas au fait de l'aspect historique (qu'à dit Cantor et que lui attribue t-on?)

2. Sur le pb d'homonymie que je soulevais, je trouve que l'utilisation des termes "resteint" et "non-restreint/fort/large", dans les cas, rares, où il y a lieu de faire la distinction résout le pb. Donc inutile, comme je le suggérais, d'utiliser le mot "séparation" pour la distinction; même si le mot peut être mentionné. --Epsilon0 6 avril 2007 à 21:55 (CEST)

"Non restreint" semble effectivement plus clair : j'ai corrigé dans l'article schéma d'axiomes de compréhension. Proz 6 avril 2007 à 23:09 (CEST)

[modifier] Autres théories des ensembles

Je réagis à ce récent ajout "les théories de Quine telles que "nouvelles fondations", variante simplifiée de la théorie des types, celles de Kripke qui introduisent des ur-elements, les théories "à étages" ou qui postulent des cardinaux inaccessibles…"

  • 1. New Foundations, variante simplifiée de la théorie des types est-ce sûr?
  • 2. celles de Kripke : jamais entendu parlé, références?
  • 3. les théories "à étages" : Qu'est-ce si ce n'est pas la théorie des types?
  • 4. qui postulent des cardinaux inaccessibles ok, mais là on reste dans la même axiomatique (ZF) et ce n'est qu'un cas particulier de choix d'axiomes complémentaires, non?

--Epsilon0 11 novembre 2007 à 21:51 (CET)

New foudations : c'est effectivement la même idée d" départ, du typage implicite si on peut dire, de là à parler de simplification, pour une théorie dont on ne connait aucun résultat de cohérence relative ... En tout cas les ur-element ce n'est sûrement pas Kripke mais bien antérieur (peut-être bien Zermelo). Théories à étage : comme toi. Il y a une (des ?) théorie des ensembles de Kripke-Platek (une théorie des ensembles faible), mais ça ne sert à rien de toute façon de jeter des noms au hasard dans une introduction en mettant tout au même niveau ... De toute façon c'était déjà à réécrire. Proz 11 novembre 2007 à 23:26 (CET)
Si c'est problématique je l'enlève. Cependant :
1) Randall Holmes pense bien que NF est une simplification de la théorie des types ;
2) En ce qui concerne Kripke, voir Kripke-Platek et Kripke-Platek with urelements ; les ur-éléments de Kripke n'ont rien à voir avec ceux de Fraenkel, Mostowski ou Quine, lesquels étaient éléments d'eux-mêmes ;
3) La théorie "à étages" est celle utilisée par Roland Fraïssé dans "Logique mathématique" Vol.3 Gauthier-Villars : tous les ensembles accessibles par les axiomes de ZF forment une classe, à partir de laquelle d'autres classes sont construites au moyen des mêmes axiomes ; ainsi selon R. Fraïssé, Cohen aurait utilisé un modèle à deux étages ;
4) Si l'on ajoute des cardinaux inaccessibles à ZF, ce n'est plus ZF. - Michel421 12 novembre 2007 à 01:27 (CET)
Je m'exprime parfois un peu abruptement, désolé. Ce n'est pas spécialement ton ajout, mais plutôt de tout mentionner dans l'intro sans que l'on sache de quoi il s'agit qui me gêne. Pour les Ur-elements : les éléments éléments d'eux mêmes c'est une astuce pour rester dans le langage de ZF, ne pas ajouter une nouvelle sorte, mais c'est bien la même idée (d'ailleurs je ne sais pas de quand date l'astuce, ce serait Fraenkel ?). C'est tellement naturel d'avoir des éléments primitifs. NF : effectivement ça simplifie bien la syntaxe. Théorie à étages : je ne comprends pas bien (serait-ce des cardinaux inaccessibles ?) On peut réfléchir pour avoir une intro un peu plus satisfaisante (voir celle de Jech dans la ref. que je viens d'ajouter par ex.), et où mentionner les autres formalisations. Proz 12 novembre 2007 à 02:06 (CET)
J'ai vu l'abstract. Cette intro présente la théorie des ensembles comme le fondement des mathématiques ; mais maintenant que la théorie des catégories aspire au même statut, cela pourrait être contesté.
Les théories à "uréléments" différent fondamentalement des théories à "atomes" éléments d'eux-mêmes ; ces dernières n'admettent pas l'axiome de fondation alors qu'avec des uréléments on peut garder cet axiome.
D'après Randall Holmes, NF devient plus intéressante si on lui ajoute des uréléments. A contrario, Harvey Friedman a peu d'estime pour NF et NFU, ainsi que pour les catégories, et qualifie ces théories de "non-foundations", "mis-foundations" ou "dys-foundations" - pas très loin de ce que Poincaré est supposé avoir dit de la théorie des ensembles.
Avec tout ça, je ne vois pas bien ce qu'on pourrait mettre dans l'intro, si ce n'est signaler qu'il existe des théories alternatives, et dire quelques mots sur la méthode axiomatique avec un lien. - Michel421 12 novembre 2007 à 11:37 (CET)
L'article de Jech présente ce qu'est la théorie des ensembles aujourd'hui (ce qui devrait être le sujet de l'article), de savoir si c'est une théorie des fondements, et en quel sens, c'est presqu'un autre sujet. Il n'y a pas à chercher d'opposition avec la théorie des catégories. Ce qui est intéressant ce sont les méthodes développées, les résultats obtenus, les questions que cherchent à résoudre les gens ... Ur-elements et atomes : c'est bien la même idée, si tu veux adapter l'axiome de fondation (fondation sur le vide ou les atomes), tu peux dans les deux cas. NF : on peut dire que c'est un domaine relativement marginal, mas avec des résultats nouveaux (dans la direction NFU apparemment) sans prendre partie. Ca ne devrait pas prendre une part importante de l'article présent. Proz 18 novembre 2007 à 22:46 (CET)

[modifier] Retour sur l'axiome du choix

(je place ça ici parce que la précédente section sur le sujet est maintenant assez haut dans le texte)

Ce passage de l'article mériterait d'être abrégé. La controverse sur cet axiome mérite peut-être 1 ou 2 lignes à titre historique. Mais pas besoin de faire tant de baratin là-dessus même si j'ai contribué au baratin dans l'affaire des sphères de Banach-Tarski. Depuis Gödel on sait que c'est un non-problème. - Michel421 12 novembre 2007 à 22:18 (CET)

Finalement il y a deux lignes sur cette controverse ailleurs dans la page. Par conséquent ce paragraphe peut être enlevé entièrement. - Michel421 18 novembre 2007 à 21:33 (CET)

Ca a une importance historique au moins. Il y a des résultats intéressants obtenus avec des axiomes contredisant l'axiome du choix (forme la plus générale). Le contenu du paragraphe de l'article est très douteux, mais le sujet doit être traité. Proz 18 novembre 2007 à 22:52 (CET)
Je crois que la question de l'acceptation de AC ou non n'est pas une simple question d'histoire et que la distinction entre ce qui est effectivement démontrable (par exhibition de l'objet dont on affirme l'existence) ou non a tjs existé (en tant qu'option philosophique) voire est actuellement renforcée par le dvpt de l'informatique. Maintenant quelle place à donner à cela dans cet article précis, je ne sais et effectivement ce qu'il y a actuellement peut sembler douteux. --Epsilon0 19 novembre 2007 à 10:10 (CET)
Le lecteur qui voit ça comme ça risque d'être refroidi par le vocabulaire employé. Qu'est-ce que c'est qu'un mathématicien "platonicien"? - Michel421 19 novembre 2007 à 22:50 (CET)
(conflit de modif) Platonicien, pour un mathématicien = réalisme mathématique, càd croire que les objets mathématiques, par exemple les nombres existent (indépendemment de nous, comme les atomes physiques). Pour exemple Gödel a certes démontré que HC est compatible avec zf, mais pour lui, en tant que philosophe réaliste et conscient de ce fait (et non en tant que mathématicien), HC était fausse ... dans le vrai monde (vu comme sémantique). Voir l'excellent article :
  • Kurt Gödel, What is Cantor's continuum problem?, 1947, The American Mathematical Monthly 54 : 515-25. Version révisée in Paul Benacerraf et Hilary Putnam, eds., 1984 (1964). Philosophy of Mathematics : Selected Readings, Cambridge Univ. Press: 470-85. Article informel de réflexion sur l'hypothèse du continu.
A noter que ce réalisme mathématique est le courant le plus général et est souvent considéré comme "évident", "naturel", etc et non comme un courant philosophique particulier (cela est vrai aussi dans les autres domaines philosophiques). Souvent ce sont ceux qui s'opposent à ce courant (les idéalistes) qui en montrent l'aspect inanalysé (philosophie naïve). Voir par exemple le +- récent ouvrage de P. Argeron : Logique, ensembles, catégories, le point de vu constructiviste ed.Ellipse. (très intéressant, dit en passant) .--Epsilon0 19 novembre 2007 à 23:40 (CET)
Aussi je ne resiste pas à faire de la pub à la conf informelle de Krivine : Mathématiques des programmes et programme des mathématiques accessible sur sa page perso, sur la question qui pourrait être "qu'est-ce que le nombre 3", je trouve cela assez convaincant (si on est matérialiste ;-) )--Epsilon0 19 novembre 2007 à 23:46 (CET)
La distinction entre platonistes, constructivistes et formalistes, ça n'a pas vocation à être mis là. Mais le pb est que cet article risque de doublonner d'une part avec axiomatique d'autre part avec ZFC - Michel421 19 novembre 2007 à 23:25 (CET)
La distinction entre platonistes, constructivistes et formalistes, ça n'a pas vocation à être mis là tout à fait d'accord. --Epsilon0 19 novembre 2007 à 23:40 (CET)
Ce que je voulais dire c'est que le pékin moyen ne s'attend pas à une controverse ici ; c'est pour ça que faire un § spécial sur l'axiome du choix ne me paraît pas approprié mais en revanche on pourrait faire un bref commentaire sous chacun des axiomes ; et signaler éventuellement s'il a été prouvé compatible avec les autres axiomes - c'est le cas de ceux du choix et de fondation - Michel421 20 novembre 2007 à 11:32 (CET)
Je suis pour virer ces histoires très suspectes de mathématiciens platoniciens qui seraient pour l'axiome du choix (quel lien de cause à effet ?) et pourquoi celui-ci serait intuitivement vrai. Ce sont les conséquences de l'axiome qui sont décisives. Proz (d) 23 novembre 2007 à 21:01 (CET)
Tu as raison. L'axiome des parallèles d'Euclide n'était-il pas lui aussi intuitivement vraie jusqu'au milieu du XXe siècle? Un axiome reste un axiome. On peut préférer celui ci à celui là, mais on ne peut pas considérer un axiome comme une évidence incontournable pour des raisons idéologiques.Pierre de Lyon (d) 23 novembre 2007 à 21:37 (CET)
Si le pb c'est l'existence d'ensembles non construits, alors que dire des cardinaux inaccessibles ? Après tout l'axiome du choix a été prouvé compatible avec les autres axiomes, alors qu'aucune preuve de ce genre n'est intervenue pour les cardinaux inaccessibles. Et même en restant dans ZF l'axiome de l'ensemble des parties permet l'existence d'ordinaux vertigineux sans qu'il soit possible d'en construire explicitement aucun. - Michel421 (d) 24 novembre 2007 à 10:28 (CET)
Pour avoir des ordinaux "vertigineux" avec l'axiome de l'ensemble des parties, il faut justement l'axiome du choix ! Le problème c'est que le terme de "construction" est mal utilisé ou au moins très ambigu, les mathématiciens de l'époque parlent de "nommer", de "définir", de "loi", je ne sais pas s'ils parlent de construction. Une chose est sûre, c'est que ce n'est pas constructif au sens d'aujourd'hui, et au sens des intuitionnistes. La théorie des ensembles pose des problèmes de ce point de vue bien avant l'axiome du choix. Déjà la fonction qui calcule le minimum d'un ensemble d'entiers n'est pas calculable. J'ai l'impression qu'il y a confusion dans l'article entre les conceptions de Brouwer et celles de par exemple Borel. Je suis pour être plus prudent que dans l'article actuel. Proz (d) 24 novembre 2007 à 23:54 (CET)
Bon. Laissons choir la "constructivité". Par "vertigineux" j'entends > 2^aleph 0. Je comprends bien que sans l'axiome du choix on ne peut plus assurer qu'un ensemble est équipotent à un ordinal. Est-ce à dire que sans l'axiome du choix il existe un plus grand cardinal ? Je ne comprends plus là. - Michel421 (d) 25 novembre 2007 à 01:28 (CET) après coup changé "ordinal" en "cardinal" - Michel421 (d) 25 novembre 2007 à 11:48 (CET)
"Définir" oui c'est bien ce que je veux dire. Il est possible que ce débat aie été pollué par celui sur le tiers exclu. Je viens de relire Roger Apéry dans un article de l'ouvrage collectif Penser les mathématiques Seuil 1982. Après un début très clair dans lequel il dit qu'il n'y a pas de contradiction entre le tiers-exclu classique et son propre rejet du tiers-exclu puisqu'on ne parle pas du même tiers exclu (vrai/faux versus connaissance d'un procédé régulier), il finit par dire qu'il y a des situations où le tiers exclu ne s'applique pas. Je suis d'accord pour qu'on ne parle pas de ça dans cet article mais ça mériterait sans doute d'être mentionné ailleurs. - Michel421 (d) 25 novembre 2007 à 11:14 (CET)
Parlons-nous d'ordinaux ou de cardinaux? Le fait qu'il n'existe pas de plus grand ordinal, n'est-ce pas le paradoxe de Burali-Forti? Pierre de Lyon (d) 25 novembre 2007 à 10:44 (CET)
C'est en effet le "paradoxe" de Burali-Forti (pas plus paradoxal que le fait qu'il n'y a pas de plus grand nombre). Oui, j'aurais dû embrayer sur les cardinaux dès le début. Mais le fait qu'il n'y a pas de surjection d'un ensemble E sur P(E) est indépendant de l'axiome du choix. - Michel421 (d) 25 novembre 2007 à 11:14 (CET)
Non finalement c'est pas ça oh le michou s'est mal réveillé ce matin Sourire le paradoxe de Burali-Forti c'est qu'il n'y a pas d'ensemble des ordinaux, c'est autre chose qu'un plus grand ordinal. Dans NBG il y a un ordinal ultime On qui est la classe des nombres ordinaux - dans la définition de Gödel c'est un ordinal mais pas un nombre ordinal car c'est une classe propre. Là non plus il n'y a pas de plus grand nombre ordinal. - Michel421 (d) 25 novembre 2007 à 12:01 (CET)
Juste pour fixer les choses (je crois que nous sommes d'accord et que vous savez tout ça) : le paradoxe de Burali-Forti n'utilise pas l'axiome du choix, il permet aussi de montrer l'existence d'une "suite" infinie strictement croissante (classe propre) de cardinaux bien ordonnée (les alephs) par remplacement sans AC. Par le théorème de Cantor on construit une suite infinie de cardinaux strictement croissante, classe propre paradoxe de Cantor tout ça sans AC, mais on ne peut se "ramener" aux ordinaux que par AC.
Du point de vue intuitionniste : le problème 'est que la théorie des ensembles n'est pas le bon cadre pour en parler, l'extensionnalité est déjà un problème (pourquoi l'égalité de deux ensembles infinis serait-elle constructive ?). Effectivement c'est plutôt le débat sur le tiers-exclu, et le problème des fondements (pas dela théorie axiomatique des ensembles). je préfère que chacun garde son décalage, là si on continue je vais sortir de mon écran, mais bon ... je reconnais que l'avantage est d'éviter les discussions trop longues ;) Proz (d) 25 novembre 2007 à 12:11 (CET)
Au fait sisi : bien réveillé. Le plus grand ordinal serait l'ordinal de l'"ensemble" de tous les ordinaux (bien ordonné naturellement par application croissante, sans parler des ordinaux de von Neumann où c'est l'inclusion). NBG et ZFC sur le fond c'est pareil, juste une question de formalisation. Proz (d)

[modifier] C'est une propriété générique des modèles du calcul des prédicats de posséder au moins un objet

Je ne comprends pas la phrase c'est une propriété générique des modèles du calcul des prédicats de posséder au moins un objet.

  1. Si c'est une propriété des modèles, ça ne se situe pas au niveau des axiomes.
  2. Le calcul des prédicats n'a pas de relation d'appartenance, donc pas notion de « posséder ».

Ça me parait un non sens et j'ai envie de supprimer cette phrase. Pierre de Lyon (d) 23 novembre 2007 à 09:40 (CET)

C'est une version sémantique du fait que par exemple ∃ x(P -> P) est démontrable dans n'importe quel système de déduction pour la logique classique (et d'autres). On peut sûrement le dire mieux mais c'est utile pour expliquer pourquoi il y a par exemple un axiome de l'ensemble vide dans Halmos (qu'il déduit également de l'axiome de l'infini) le langage logique n'étant pas très spécifié, et pourquoi il n'y en a pas dans par exemple Krivine (il est déduit de la compréhension comme indiqué). Je pense que c'est plus clair de le dire "sémantiquement". Proz (d) 23 novembre 2007 à 19:55 (CET) J'ai tenté de reformuler, plus clair ? Proz (d) 23 novembre 2007 à 22:55 (CET)
La nouvelle formulation me plait ; elle est claire et je comprends de quoi il en retourne. Pierre de Lyon (d) 24 novembre 2007 à 12:00 (CET)

[modifier] Introduction (et sujet de l'article)

Je trouve que le sujet de l'article devrait être de présenter la théorie des ensembles comme domaine des mathématiques, et pas comme une collection d'axiomes. Pourquoi "théorie axiomatique des ensembles" et pas seulement "théorie des ensembles" ? On peut se poser la question, j'ai l'impression que c'est quand même mieux de laisser pour théorie des ensembles un article très accessible et plus orienté "fondations", mais je n'y tiens pas plus que ça. Dans l'article actuel il faudrait ne pas présenter ZFC comme la théorie axiomatique des ensembles (intro actuelle), même si ZFC a un rôle important, l'intro devrait faire un tour rapide du domaine. Il manque également un chapitre sur l'hypothèse du continu (un moteur du développement du domaine), les grand cardinaux, la théorie descriptive (cf. article de Jech). On peut se demander aussi ce qui doit figurer dans l'article ZFC plutôt que dans celui-ci. Proz (d) 25 novembre 2007 à 15:51 (CET)

Cet article commence à se développer (au fait, il faudrait que quelqu'un du projet lui mette un niveau d'importance et un niveau d'avancement) pour le moment il s'est développé ZF-centré rien de mal là-dedans mais à ce moment-là il faut le fusionner avec ZFC. Sinon on peut passer en revue les théories alternatives mais ce sera un article long si on vise un bon niveau de qualité. - Michel421 (d) 25 novembre 2007 à 16:21 (CET)

Je ne suis pas trop pour la fusion avec ZFC qui devrait être un article plus technique, détaillant les axiomes, avec un exposé rapide des premiers développements, accompagné de renvois sur les articles spécialisés (couples, familles, fonctions, construction des entiers ...). Pour l'article présent, le sujet ce serait plutôt "de quoi s'occupent ou se sont occupés les théoriciens des ensembles" (donc ça devrait tourner surtout autour de ZF et ses extensions, mais d'un autre point de vue) Proz (d) 25 novembre 2007 à 17:01 (CET)

En plus des articles que vous citez, il y a ensemble et classe (mathématiques), ça fait beaucoup. Pour le reste, je suis d'accord avec le point de vue de Proz. En particulier, l'idée d'une collection d'axiomes est un peu desséchante. Pierre de Lyon (d) 25 novembre 2007 à 20:46 (CET)
ET il y a aussi théorie naïve des ensembles. C'est vrai que c'est un peu fouillis, mais ensemble présente normalement le point de vue "naïf", et c'est une entrée qui doit exister. La notion de classe mérite vraiment un article à part. Proz (d) 25 novembre 2007 à 22:34 (CET)
J'ai concocté une intro, mais comme je ne veux ni la mettre directement, ni faire une archive pour ça, je la mets ici pour avis (en nowiki pour éviter que les reférences ne polluent la page):
La théorie des ensembles est la science mathématique de l'infini.<ref> {{en}}Thomas Jech, ''Set Theory'', The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2002 Edition), Edward N. Zalta (ed.) [http://plato.stanford.edu/archives/fall2002/entries/set-theory]. et étendre </ref> Elle étudie les propriétés des ensembles, sur lesquelles sont basées les théories actuelles. La langue de la théorie des ensembles, dans sa simplicité, est suffisamment universelle pour formaliser toutes les structures utiles et ainsi la théorie des ensembles, conjointement avec le calcul des prédicats, unifie le langage mathématique. On voit assez peu ce qui pourrait la remplacer dans ce rôle unificateur, encore qu'au début du {{s-|XXI|e}}, des axes de recherche se dessinent en direction de la [[théorie des catégories]]<ref>{{en}}Marquis, Jean-Pierre, ''category Theory'' The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2007 Edition), Edward N. Zalta (ed.), [http://plato.stanford.edu/archives/fall2007/entries/category-theory/]</ref>
Une théorie [[axiomatique]] des ensembles se présente généralement comme une suite d'assemblages d'éléments syntaxiques issus d'un langage du premier ordre ; alors qu'une théorie dite "[[Théorie naïve des ensembles|naïve]]" même si elle énonce explicitement ses axiomes, est écrite dans le langage usuel.
Michel421 (d) 26 novembre 2007 à 15:12 (CET)
Je suis d'accord avec le sens général. C'est un bon début. Je ne ne dirais pas "On voit assez peu ce qui pourrait la remplacer dans ce rôle unificateur" mais on a proposé aussi ... (en disant pourquoi, là je suis un peu court). Il faudra quand même dire deux mots sur la théorie des types (qui n'est pas abandonnée comme le dit l'article actuel mais utilisée par certains démonstrateurs interactifs). Peut-être ajouter un paragraphe ensuite sur les théories alternatives. Mais n'hésite pas à commencer de remplacer et à éditer l'article. Je préviendrais ici si je propose une modif ou un ajout. Proz (d) 26 novembre 2007 à 22:37 (CET)
Fait fait. Mais finalement je n'ai pas fait mention des types et des catégories - trop long et compliqué pour être présenté dans une intro sur la théorie des ensembles. - Michel421 (d) 27 novembre 2007 à 21:16 (CET)
Cet article est excellent mais il fait largement double-emploi avec l'article théorie des ensembles. Je propose de supprimer ce dernier, dont le contenu est assez pauvre, et de renommer celui-ci de façon à en faire l'entrée principale en théorie des ensembles. Après quoi il ne restera plus qu'à continuer à le travailler dans l'esprit de ce qui a été fait jusqu'ici.
Laurent de Marseille (d) 14 mai 2008 à 09:10 (CEST)
Il y a aussi ZFC ce qui fait probablement un article de trop. Je suis plutôt pour mais peut-être faut-il faire glisser un certain nombre de choses de cet article vers ZFC à commencer par la liste des axiomes, que l'on peut résumer et étendre ici (dans le style du paragraphe sur en: "axiomatic set theory") ? Proz (d) 14 mai 2008 à 09:49 (CEST)

[modifier] Théorie des ensembles et Théorie axiomatique des ensembles

Comme dit ci-dessus, je propose de fusionner ces deux articles et de garder le titre Théorie des ensembles pour l'unique article résultant. Le titre Théorie axiomatique des ensembles deviendrait une redirection.

Pour le contenu je propose de garder le texte de Théorie des ensembles sous forme d'introduction qui se substituerait à celle de Théorie axiomatique des ensembles, le corps de l'article serait celui de Théorie axiomatique des ensembles. Je ne sais pas trop quoi faire avec la section Les axiomes de la théorie ZFC : d'un côté elle est un petit peu trop précise pour un article généraliste et pourrait être déplacée vers l'article ZFC comme le suggère Proz, mais si on fait ça on va perdre l'historique, c'est mal. Des suggestions ?

Laurent de Marseille (d) 25 mai 2008 à 20:43 (CEST)