Discuter:Théorie axiomatique

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Création : notions utiles en particulier pour le théorème d'incomplétude de Gödel.

Proz 26 avril 2006 à 22:15 (CEST)

J'ai hésité à créer plutôt un article "théorie récursivement axiomatisable", il m'a semblé que théorie axiomatique suffisait. Du coup il manque quelques développements sur les théories axiomatiques en général : jindépendance des axiomes en particulier (dans cet article ou peut-être dans un autre ?).

Il faudrait ajouter une section d'exemples ...

J'ai mis également un embryon d'historique qui serait à compléter.

Les développements sur les théories complètes et incomplètes manquent mais, à mon avis doivent être renvoyés sur d'autres articles (qui sont à créer ou peut-être à renommer/fusionner à partir de l'existant). Il devrait y avoir une entrée pour chaque.

Sur les théories récursivement axiomatisables : j'ai essayé de donner une idée des preuves, en restant relativement informel : sans donner de codages, en utilisant une notion intuitive de machine, ou algorithme. Sur le fond ce ne sont pas des choses très compliquées. Si seuls ceux qui ont déjà des éléments de théorie de la calculabilité comprennent, c'est raté. N'hésitez pas à améliorer.

Cet article me permet d'alléger l'article théorème d'incomplétude de Gödel, que j'essaye d'améliorer. Proz 27 avril 2006 à 18:58 (CEST)

[modifier] Premiers pas vers une clarification des concepts

En essayant de comprendre le Théorème de Gödel, je tombe sur ce passage : "Une théorie récursivement axiomatisable, est une théorie qui peut être axiomatisée de façon qu'il soit possible de reconnaître de façon purement mécanique les axiomes parmi les énoncés du langage de la théorie". Le lien me permet de comprendre, grosso modo, ce que peut être cette histoire de récursivité. Mais après avoir été au bout du chemin, je n'arrive toujours pas à saisir la phrase citée. Qu'entends-tu, Proz, par "reconnaître les axiomes"? Bien cordialement, --EL ✉ - ✍ 27 mai 2007 à 22:48 (CEST)

PS : Il vaut mieux éviter les liens pointant vers un paragraphe, tel que [[théorie axiomatique#Théorie récursivement axiomatisable|théorie récursivement axiomatisable]]. En cas de réorganisation de l'article, il risque d'être cassé. Dans le cas présent, un petit article sur les théories récursivement axiomatisables, qui reprendrait en particulier le contenu de ce paragraphe, serait en effet probablement utile.

La notion de théorie récursivement axiomatisable correspond en gros à ce que l'on appelle habituellement "système d'axiomes", personne n'aurait l'idée (sauf en logique pour des besoins bien particuliers) d'appeller "axiomatique" un ensemble d'énoncés tel qu'il ne soit pas "évident" qu'un énoncé quelconque est un axiome ou non. "Récursivement axiomatisable" capture (très imparfaitement, mais ça suffit pour ce dont on a besoin) cette notion d'évidence. C'est pour cela qu'il est difficile de définir "récursivement axiomatisable" sans expliquer avant pourquoi "axiomatisable", défini dans le paragraphe précédent, ne suffit pas. Donc reconnaître mécaniquement c'est juste : on me donne un énoncé arithmétique, et je suis capable de dire sans aucun effort d'imagination que c'est un axiome. Je vais essayer d'améliorer le paragraphe, je m'aperçois d'ailleurs que la définition formelle n'y est pas. Proz 28 mai 2007 à 09:44 (CEST)

Merci pour ta réponse. Je tâcherai de temps en temps de te soumettre d'autres questions de béotien, en sorte de t'aider à vulgariser sans renoncer à la rigueur de tes articles. Mais revenons pour le moment à ma question : j'avais bien compris que cette reconnaissance du caractère axiomatique renvoyait à un procédé purement mécanique, à une suite d'opérations logiques. Ce que je n'arrive pas à saisir, c'est à quoi peut ressembler, concrètement, un tel procédé. C'était cela le sens de ma question, mais j'aurais dû ajouter "concrètement". Quelle sorte de procédé mécanique permet de déterminer le caractère axiomatique d'un énoncé? Si je me permets de continuer à t'embêter avec cela, c'est que ce point obscur entrave ma lecture du Théorème de Gödel, et j'imagine ne pas être le seul dans ce cas. Bien cordialement,--EL ✉ - ✍ 28 mai 2007 à 10:14 (CEST)

Est-ce que les compléments que je viens d'écrire suffisent ? Proz 28 mai 2007 à 10:42 (CEST)

J'allais justement écrire que cela me semble maintenant beaucoup plus clair. Comme promis je tâcherai de prendre le temps de lire tes articles puis de t'exposer mes perplexités, pour t'aider à identifier les passages hermétiques aux non spécialistes. mais pour le moment, je dois lutter contre ma procrastination wikipédienne et me mettre à ce fichu papier oh combien moins intéressant que le sujet de nos échanges. Bien cordialement.--EL ✉ - ✍ 28 mai 2007 à 10:49 (CEST)