Table de logarithmes

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Une table de logarithmes est une représentation tabulaire des logarithmes (généralement en base 10) des nombres de 1,00 à 9,99.

De simples tables de logarithmes à cinq décimales sont généralement développées de telle sorte que les nombres formés des deux premiers chiffres (de 10 à 99) forment le bord gauche du tableau, tandis que les derniers chiffres (de 0 à 9) apparaissent en tête de colonne.

La connaissance des logarithmes des nombres compris entre 1,00 et 9,99 suffit, puisque le logarithme des autres nombres peut être obtenu facilement; seule la partie devant la virgule (caractéristique du logarithme) change.

Exemple :

Le logarithme de 2 est 0,30103... ;
le logarithme de 20 est 1,30103... ; et
le logarithme de 200 est 2,30103...

Des logarithmes de nombres avec quatre chiffres significatifs se laissent calculer avec une interpolation linéaire.

Sommaire

1 Produire une table de logarithme
- 1.1 Première étape
- 1.2 Deuxième étape
2 Utiliser une table de logarithme

[modifier] Produire une table de logarithme

Tables de Logarithmes Bouvart et Ratinet, Librairie Hachette, 1957

Nous allons décrire comment construire une table des logarithmes de base 10, sans ordinateur comme cela se faisait il y a quelques années, uniquement avec les opération arithmétiques de base (addition et division).

Si nous devons effectuer les calculs à la main, nous avons besoin de beaucoup de temps pour atteindre une précision de trois décimales exactes.

[modifier] Première étape

Nous déterminons dans un premier temps la suite des puissances du nombre 1,01 jusqu'à ce que le nombre 10 (la base) soit atteint. C'est-à-dire que nous commençons avec la première puissance (1,01), puis nous ajoutons le nombre décalé vers la droite de deux chiffres après la virgule (multiplié par 0,01) et nous obtenons la deuxième puissance :

1,01 + 0,0101 = 1,0201.

Nous continuons ainsi, en arrondissant ensuite les résultats en tronquant les chiffres après la quatrième décimale :

La troisième puissance de 1,01 est égale à 1,0303 ;
la 4^e puissance est égale à 1,0406 ; ... en utilisant les règles classiques des arrondis, par exemple :
la 11^e puissance vaut 1,1155 ;
la 12^e puissance est alors 1,1155 + 0,0112 = 1,1267 ; ...
enfin la 231^e puissance est 9,959 ; et la 232^e puissance est 10,059.

Nous nous arrêtons puisque nous venons de dépasser 10. À cause des valeurs obtenues on peut estimer que 10 aurait été atteint à peu près à la « 231,4^e puissance » (voir plus loin : « Le principe... » pour une preuve). Par conséquent $1,01^{231,4} \approx 10$ , et, quelle que soit la base "a" du logarithme, on a $231,4\log_{a}1,01 \approx \log_{a}10$ . En particulier, pour a=10, on a $231,4\log_{10}1,01 \approx \log_{10}10$ , soit encore $\log_{10}1,01 \approx \frac{1}{231,4}$

[modifier] Deuxième étape

Il apparaît que 232 étapes sont nécessaires, pour atteindre le nombre 10,00. Nous dressons ensuite une autre table, en déterminant les logarithmes de tous les nombres compris entre 1 et 10 avec une interpolation linéaire.

Essayons de déterminer par exemple le logarithme base 10 du nombre 2. Nous devons parcourir notre table des puissances de 1,01 pour nous rendre compte que 2,00 se situe entre la 69^e puissance (1,9867) et la 70^e puissance de 1,01 (2,0066). D'une interpolation linéaire, 2 en ressort avec une puissance de 69,7, donc $1,01^{69,7} \approx 2$ , c’est-à-dire $69,7\log_{10}1,01 \approx \log_{10}2$ .

Pour déterminer le logarithme base 10 de 2, il nous reste plus qu'à effectuer la division 69,7 / 231,4 = 0,3012. Puisque la valeur précise est 0,30103, la précision souhaitée est atteinte.

Le principe est simple, nous déterminons par cette méthode une valeur approchée du logarithme de base 1,01 d'un nombre compris entre 1 et 10 et nous en déduisons une valeur approchée du logarithme en base 10 en divisant par $\frac{1}{\log 1,01} \approx 231,40$

Historiquement, des tables de logarithmes furent construites à la main à partir des puissances de 1,000001. Ajoutons que les tables de logarithmes étaient vendues relativement cher. Il est à remarquer à ce sujet, que si on affecte arbitrairement la valeur 0,000001 au logarithme de 1,000001, on obtient la valeur de 1 pour le logarithme de 2,71828, donnant ainsi une légitimité au logarithme naturel (ou népérien) de base e.

[modifier] Utiliser une table de logarithme

Une table de logarithmes se présente sous la forme suivante:

N 0 1 2 3 ... 9 10 0000 0043 0086 0128 ... 11 0414 0453 0492 0531 ... 12 0792 0828 0864 0899 ... 13 1139 1173 1206 1239 ... 14 1461 1492 1523 1553 ... 15 1761 1790 1818 1847 ... 16 2041 2068 2095 2122 ... 17 2304 2330 2355 2380 ... 18 2553 2577 2601 2625 ... 19 2788 2810 2833 2856 ... . . . . . . . . . . . . . . . 99

Ici, le chiffre des unités et celui des dixièmes du nombre N figurent dans la colonne de gauche et le chiffre des centièmes dans la première ligne. À l'intersection d'une ligne et d'une colonne, on lit log(N).

Exemple 1 : Comment déterminer log(1,53) ?

On se place dans la ligne 15 et dans la colonne 3 et on lit 1847. On peut donc conclure que

log(1,53) $\approx$ 0,1847

Exemple 2 : Comment déterminer log(0,00153) ?

On sait que la caractéristique de ce nombre est -3 et que sa mantisse est log(1,53).

Donc log(0,00153) = -3 + 0,1847 $\approx$ -2,8153

Exemple 3 : Comment déterminer log(18,27) ?

On sait que sa caractéristique est 1 et que sa mantisse est log(1,827). On se place donc dans la ligne 18 et entre la colonne 2 et la colonne 3. Il faut alors faire une interpolation linéaire

log(1,82) $\approx$ 0,2601 et log(1,83) $\approx$ 0,2625 soit une différence de 24 dix-millièmes. L'interpolation linéaire permet d'approcher les logarithmes des nombres compris entre 1,82 et 1,83 de la manière suivante

log(1,821) $\approx$ 0,2601 + 0,00024

log(1,822) $\approx$ 0,2601 + 0,00048

...

log(1,827) $\approx$ 0,2601 + 7 × 0,00024 $\approx$ 0,2618

log(18,27) $\approx$ 1,2618

Exemple 4: Quel est le nombre dont le logarithme est 1,208 ?

On sait que la caractéristique est 1 et que le nombre s'écrit donc N.10 avec log(N) = 0,208

Dans la table de logarithmes 2080 est compris entre 2068 et 2095 (différence de 27). 2068 est dans la ligne des 16 et dans la colonne des 1 donc 0,2068 = log(1,61). De même 0,2095 = log(1,62). On procède donc encore à une interpolation linéaire

0,2068 + 0,00027 = 0,20707 = log(1,611)

0,20707 + 0,00027 = 0,20734 = log(1,612)

...

0,2068 + 4 × 0,00027 = 0,20788 = log(1,614)

0,2068 + 5 × 0,00027 = 0,20815 = log(1,615)

0,208 $\approx$ = log(1,614)

$10^{1,208} \approx 16,14$