Symbole de Levi-Civita

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Le symbole de Levi-Civita, noté ε (lettre grecque epsilon), est un indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker :

Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions.
Visualisation d'un symbole de Levi-Civita en 3 dimensions.
\varepsilon_{ijk} =\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2}& \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2}& \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2}& \delta_{k3} \end{vmatrix}

Ainsi \varepsilon_{ijk} ne peut prendre que trois valeurs : -1, 0 ou 1.

En 3 dimensions on peut figurer le symbole de Levi-Civita comme suit :

\varepsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ou } (3,1,2), \\ -1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ est } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ou } (2,1,3), \\ 0 & \mbox{autrement: }i=j \mbox{ ou } j=k \mbox{ ou } k=i, \end{cases}

La relation du symbole Levi-Civita au symbole de Kronecker:

\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmn} = \delta_{il}\delta_{jm}\delta_{kn} + \delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl} + \delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km} - \delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km} - \delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl} - \delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn}
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}
\sum_{i,j=1}^3 \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}

On peut démontrer que:

\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon_{ijk\dots} = n!

est vrai en n dimensions.

[modifier] Interprétation

Dans une base orthonormée directe \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}, ,
\varepsilon_{ijk} représente le volume orienté du parallépipède construit à partir des vecteurs \vec{e_i}, \vec{e_j}, \vec{e_k}, .

D'où une valeur égale à 0 si i=j, ou j=k, ou i=k.

[modifier] Voir aussi