Surface de Boy

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

La surface de Boy, du nom de Werner Boy, mathématicien ayant le premier imaginé son existence en 1902, est le nom donné au plan projectif réel $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ , que certains notent aussi $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ , muni de sa topologie quotient.

En effet $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ se définit comme le quotient de $\mathbb{R}^3 \smallsetminus \{0\}$ par la relation d'équivalence suivante: « deux vecteurs non nuls sont équivalents si et seulement s'ils sont colinéaires ». $\mathbb{R}^3 \smallsetminus \{0\}$ étant muni de sa topologie usuelle on munit alors le plan projectif de la topologie quotient associée.

La surface de Boy peut aussi être « vue » comme une sphère dont on a recollé deux à deux les points antipodaux, ou encore un disque dont on a recollé deux à deux les points diamétralement opposés de son bord. On peut également la construire en recollant le bord d'un disque sur le bord d'un ruban de Möbius.

[modifier] Propriétés

La surface de Boy est une variété différentielle compacte de dimension 2 non orientable. Elle n'est pas plongeable dans un espace de dimension 3 et de fait il est difficile, voire impossible, de la visualiser.
La bouteille de Klein est homéomorphe à une somme connexe de deux surfaces de Boy.
Le groupe fondamental de la surface de Boy est isomorphe au groupe à deux éléments $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .

[modifier] Représentation

De nombreuses images de la surface de Boy peuvent être trouvées sur l'album Le Topologicon de Jean-Pierre Petit qui contient également une animation, sous forme d'un folioscope montrant comment faire croître un Ruban de Möbius à trois demi-tours pour le transformer en surface de Boy, son bord circulaire convergeant vers un point^[1].

Les images ci-après correspondent à une version « lissée » d'un découpage présent dans l'album, permettant de construire la version polyédrique de la surface de Boy sous forme d'un découpage. Or pour bien comprendre un objet, rien ne vaut de l'avoir en main.