Plan projectif
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
 |
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).
|
La notion de plan projectif a deux sens distincts, qui se recoupent.
Sommaire |
[modifier] Géométrie algébrique
Un plan projectif en géométrie algébrique est une variété, aussi appelée espace projectif de dimension 2. On peut associer un plan projectif aux corps des nombres réels, des nombres complexes et des quaternions, et à l'algèbre de division des octonions.
[modifier] Géométrie combinatoire
En géométrie combinatoire, un plan projectif d'ordre n est un ensemble de points et de droites (c'est-à-dire de groupements de points qu'on appellera droites) tels que :
- Il y a n2 + n + 1 points et autant de droites.
- Chaque droite possède n + 1 points et chaque point appartient à n + 1 droites exactement.
- Deux droites distinctes se rencontrent en un seul point.
- Deux points distincts se rencontrent en une seule droite.
On peut construire de tels objets en prenant les points dans un corps fini du plan projectif au sens de la géométrie algébrique. Le nombre n est alors une puissance d'un nombre premier.
[modifier] Axiomes et plans projectifs
On considère généralement divers niveaux dans les axiomes de plans projectifs, ou PP: le PP d'incidence, le PP de Pappus , le PP de Desargues, etc.
[modifier] Plan projectif réél intuitif
Girard Desargues (Français 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours et birapport.
Intuitivement la droite projective est une droite affine complétée par un point, appelé point à l'infini. Elle est en bijection avec R ∪ {∞} (à ne pas confondre avec R ∪ {-∞, +∞}).
Le plan projectif est un plan affine complété par des points à l'infini de façon à ce que deux droites distinctes aient un point commun.
Dans ce plan sont vérifiés les propriétés de Pappus et Desargues.
