Suite de Padovan

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Construction d'une suite de Padovan à l'aide de triangles équilatéraux

La suite de Padovan est une suite d'entiers définie par récurrence par

$\mathcal{P}_{n+3}=\mathcal{P}_{n+1}+\mathcal{P}_{n}\,$ , pour tout entier n

C'est une suite récurrente linéaire qui ressemble dans sa forme à la suite de Fibonacci, à une nuance près : la somme des termes de rang n et n+1 ne donne pas le terme de rang n + 2 mais celui de rang n + 3

Lorsque les trois valeurs initiales ^[1] sont

$\mathcal P(0) = \mathcal P(1) = \mathcal P(2) = 1$

la suite des premiers termes est

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 , 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...

La suite porte le nom de l'architecte Richard Padovan et est associée au nombre plastique étudié par l'architecte puis moine Hans van der Laan (1904-91) ^[2]. Le mathématicien Ian Stewart, dans ses Mathematical Recreations, évoque et étudie cette suite et lui attribue le nom de suite de Padovan ^[3]

Le terme général de la suite de Padovan est lié au trois racines du polynôme de degré trois $x 3 - x - 1$ . Ce polynôme possède une racine réelle $r 1$ et deux racines complexes conjugués $r 2$ et $r 3$

Lorsque les trois premiers termes sont 1, 1 et 1, on a

$\mathcal P(n) = \frac{(1-r_2)(1-r_3)}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}r_1^n + \frac{(1-r_3)(1-r_1)}{(r_2-r_3)(r_2-r_1)}r_2^n + \frac{(1-r_1)(1-r_2)}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)}r_3^n$

Les formules de Cardan donne pour la racine réelle :

$r_1=\frac{\left(9-\sqrt{69}\right)^{1/3}+\left(9+\sqrt{69}\right)^{1/3}}{18^{1/3}}\approx 1,32472$

Ce nombre s'appelle nombre plastique ou nombre d'argent.

Cette suite d'entiers est toujours strictement croissante à partir du rang trois et le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre plastique.

Lorsque ses trois premiers termes sont 1, 1 et 1, sa fonction génératrice est :

$F(X)=\frac{1+X}{1-X^2-X^3}$