Spirale de Sacks
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La sprirale de Sacks, créée par Robert Sacks en 1994, est une variante de la spirale d'Ulam. Elle diffère de la spirale d'Ulam de 3 manières :
- Elle place les points sur une spirale d'Archimède plutôt que sur une spirale carrée.
- Elle place le zéro au centre de la spirale.
- Elle effectue une rotation complète à chaque carré parfait, plutôt qu'une demi-rotation comme dans la spirale d'Ulam.
[modifier] Construction
La position de chaque entier est représentée par les coordonnées polaires suivantes:
où a représente un nombre de rotations, et non un angle en radians ou degrés.
[modifier] Quelques alignements remarquables
- Alignements toujours vides en nombres premiers:
- Rayon horizontal de droite : nombres carrés => jamais premiers
- Ligne immédiatement inférieure : nombres de la forme n2 - 1. => toujours divisibles par n+1 et n-1
- Rayon horizontal de gauche : nombres de la forme n2 + n => toujours divisibles par n et n+1.
- Voisinage des rayons verticaux.
- Courbes apparaissant anormalement denses en nombres premiers.
- Spirale dense en nombres premiers se terminant, dans l'illustration ci-contre, presque au bas du disque: Nombres de la forme n2 + n + 41, Il s'agit du polynôme découvert par Leonard Euler en 1774 et qui porte son nom.
- Autre spirale dense, 24 rangs au dessus : Nombres de la forme n2 + n + 17
- Ligne immédiatement au-dessus du rayon horizontal de gauche : Nombres de la forme n2 + n - 1
L'étendue de ces alignements aux grands nombres premiers est aujourd'hui inconnue.
