Spirale d'Ulam

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Sommaire 1 Spirale des nombres premiers 2 Spirale du nombre de diviseurs 3 Variante de la spirale d'Ulam 4 Liens externes 5 Références

[modifier] Spirale des nombres premiers

En mathématiques, la spirale d'Ulam, ou spirale des nombres premiers (dans d'autres langues, appelée aussi horloge d'Ulam) est une méthode simple pour la représentation des nombres premiers qui révèle un motif qui n'a jamais été pleinement expliqué. Elle fut découverte par le mathématicien Stanislaw Marcin Ulam, lors d'une conférence scientifique en 1963. Ulam se trouva coincé, contraint d'écouter « un exposé très long et très ennuyeux ». Il passa son temps à crayonner et se mit à gribouiller des entiers consécutifs, commençant par 1 au centre, dans une espèce de spirale tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Il obtient une grille régulière de nombres, démarrant par un 1 au centre, et spiralant vers l'extérieur comme ceci :

Puis, il entoura tous les nombres premiers, il obtint alors l'image suivante :

A sa surprise, les nombres entourés tendaient à s'aligner le long de lignes diagonales. L'image suivante illustre ceci. C'est une spirale d'Ulam de 200 × 200, où les nombres premiers sont noirs. Les diagonales noires sont clairement visibles.

Il apparaît des lignes diagonales comportant une quantité de nombres tracés. Ceci semble rester vrai, même si le nombre central du départ est plus grand que 1. Ceci implique qu'il existe beaucoup de constantes entières a, b et c telles que la fonction :

génère un nombre extraordinairement grand de nombres premiers tel que n contienne {1, 2, 3, ...}. Ce fut si significatif que la spirale d'Ulam apparut sur la couverture de Scientific American en mars 1964.

A une distance suffisante du centre, les lignes horizontales et verticales sont aussi clairement visibles.

Pour les traqueurs de nombres premiers, ces nombres étaient familiers. Au XVIII^e siècle, Euler avait avancé la formule n² + n + 17 qui, pour des valeurs successives de n, donnait des nombres premiers de n = 0 à n = 15. En fait, ces seize nombres premiers sont ceux qui apparaissent sur la diagonale principale du schéma de Ulam: 17, 19, 23, 29, 37, 47, 59, 73, 89, 107, 127, 149, 173, 199, 227 et 257. Euler proposa une autre formule, n² − n + 41, qui, pour des valeurs successives de n entre 0 et 40, ne produit que des nombres premiers. Par calcul sur ordinateur, on montra que la formule d'Euler n² − n + 41 était étonnamment bonne, puisqu'elle engendre des nombres premiers inférieurs à dix millions dans 47,5 % des cas. Ulam trouva d'autres formules dont les pourcentages de succès étaient presque aussi bons que pour celle d'Euler. À la grande déception des amoureux de nombres premiers comme Paul Erdős, Ulam, conscient que ses gribouillages n'aboutissaient à pas grand chose, abandonna ce sursaut de fantaisie et retourna à donner des conférences sur la relation entre science et moralité.

[modifier] Spirale du nombre de diviseurs

Une autre façon de mettre en évidence des alignements obliques est de tracer par dessus chaque nombre, un disque de diamètre égal à son nombre de diviseurs. Les nombres premier ont donc un disque de diamètre 2. Sur l'exemple ci-contre, les nombres premiers sont en rouges et les disques bleus représentent le nombre de diviseurs des nombres dont ils sont le centre.

[modifier] Variante de la spirale d'Ulam

La Spirale d'Ulam fait un demi-tour à chaque carré parfait. Pour représenter au mieux le comportement des valeurs de polynômes de degré 2, un autre mode de représentation a été imaginé par Robert Sacks : la spirale de Sacks.

[modifier] Liens externes

• http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Ulam.htm Introduction aux nombres premiers, la spirale d'Ulam.
• http://www.phpcs.com/codes/SPIRALE-ULAM-NOMBRES-PREMIERS_42487.aspx Pour dessiner facilement une spirale d'Ulam
• http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/ulam.htm Liens vers les pages concernant la spirale d'Ulam (en anglais).
• http://yoyo.cc.monash.edu.au/~bunyip/primes/primeSpiral.htm Belles images (en anglais).
• http://www.alpertron.com.ar/ULAM.HTM Une applet qui dessine les spirales de tailles diverses (en anglais).
• http://cdl.best.vwh.net/Java/PrimeSpiralApplet.html Une applet avec son code source (en anglais).
• http://teachers.crescentschool.org/weissworld/m3/spiral/spiral.html Théorie étendue se ramifiant à partir de la spirale, impliquant les nombres premiers (en anglais).
• http://www.abarim-publications.com/artctulam.html Belle image sur la première page, théorie étendue sur la deuxième (en anglais).
• http://wfr.tcl.tk/305 Une version en Tcl/Tk avec une généralisation selon le nombre de diviseurs.

[modifier] Références

• Stein, M. and Ulam, S. M. (1967), « An Observation on the Distribution of Primes. » Amer. Math. Monthly 74, 43-44.
• Stein, M. L.; Ulam, S. M.; and Wells, M. B. (1964), « A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes. » Amer. Math. Monthly 71, 516-520.
• Gardner, M. (1964), « Mathematical Recreations: The Remarkable Lore of the Prime Number. » Sci. Amer. 210, 120-128, March 1964.
• Paul Hoffman : Erdős, l'homme qui n'aimait que les nombres (Editions BELIN, 2000 - ISBN 2-7011-2539-1)

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