Sous-groupe
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Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.
Dans cet article, désigne un groupe d'élément neutre .
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[modifier] Définitions
- Soit H un sous-ensemble de G. On dit que est un sous-groupe de si est un groupe dont la loi s'obtient par restriction de à .
- On peut aussi dire que H est un sous-groupe de G s'il existe un monomorphisme (ou un morphisme injectif) de H dans G, dans ce cas là H est rarement inclus dans G.
Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire .
[modifier] Caractérisation
Il est facile de montrer que H est un sous-groupe du groupe G si et seulement s’il est non vide et stable pour les produits et les inverses. C'est-à-dire H induit un sous-groupe de G si et seulement s'il est non vide, inclus dans G et :
[modifier] Propriété
L'élément neutre de H est le même que celui de G, et le symétrique d'un élément de H est le même que le symétrique de cet élément dans G. Pour cette raison, leur notation est la même aussi bien dans H que dans G. Par définition un sous groupe est lui-même un groupe, c'est a dire qu'il possède aussi une loi de composition interne, un élément neutre ( étant le même que celui du groupe ) et si tout élément du sous groupe admet un symétrique appartenant lui même au sous groupe .
[modifier] Exemples
[modifier] Sous-groupe des entiers relatifs
-
- G un sous-groupe de Z si et seulement s'il existe un entier n tel que G soit égal à nZ.
Le sous-ensemble nZ est clairement stable pour l'opération et passage à l'opposé. C'est donc un sous-groupe de Z.
Réciproquement, soit n le PGCD de G. G est alors inclus dans nZ. D'après le théorème de Bézout n appartient à G et donc nZ est inclus dans G. Donc G=nZ.
QED
[modifier] Sous-groupe d'un groupe cyclique
Soit G un groupe cyclique d'ordre p.q où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors il existe un unique sous-groupe d'ordre p, il est cyclique et engendré par gq si g est un élément générateur de G.
La démonstration est donnée dans Groupe cyclique.
[modifier] Sous-groupe engendré par une partie
Soit une partie de G.
Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant S, appelé sous-groupe engendré par S, et noté .
[modifier] Théorème de Lagrange
Si G est d'ordre fini, et H un sous-groupe de G, alors le théorème de Lagrange affirme que :
[G : H] |H| = |G|
où |G| et |H| désignent les ordres respectifs de G et H. En particulier, si G est fini, alors l'ordre de tout sous-groupe de G (et l'ordre de tout élément de G) doit être un diviseur de |G|.
[modifier] Corollaire
Tout groupe d'ordre premier est cyclique et isomorphe à où p est l'ordre du groupe.
[modifier] Liens avec les homomorphismes
La notion de sous-groupe est stable pour les homomorphismes de groupe. On l'exprime mathématiquement de la façon suivante :
Soit un homomorphisme de groupe.
[modifier] Liens avec les treillis
Les sous-groupes d'un groupe quelconque donné, forment un treillis complet pour l'inclusion. Il y a un sous-groupe minimal, le groupe {e} (e étant l'élément neutre de G), et un sous-groupe maximal, le groupe G lui-même. La borne inférieure de deux sous-groupes A et B est leur intersection . La borne supérieure est le sous-groupe engendré par la réunion des sous-groupes, soit .
Les sous-groupes distingués d'un groupe G quelconque forment également un treillis pour l'inclusion. Les éléments minimal et maximal sont respectivement {e} et G.