Septième problème de Hilbert
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Le septième problème de Hilbert concerne l'irrationalité et la transcendance de certains nombres (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen). Dans sa formulation géométrique, il demande quand l'assertion suivante est démontrable :
- Dans un triangle isocèle, si le rapport de l'angle de la base à l'angle du sommet est algébrique mais non rationnel, alors le rapport entre la base et le côté est toujours transcendant.
Un cas particulier de ce problème demande :
est-il un transcendant, pour 
et 
algébrique et b algébrique irrationnel ?
Lorsque b est rationnel, sera algébrique.
Le problème particulier fut résolu par Aleksandr Gelfond en 1934, et raffiné par Theodor Schneider en 1935. Ils ont démontré que est transcendant lorsque b est algébrique et irrationnel. Ce résultat est connu comme le théorème de Gelfond ou de Gelfond-Schneider.
À partir du point de vue des généralisations, ceci est le cas
de la forme linéaire générale en logarithmes.
[modifier] Voir aussi
- Alan Baker
- Conjecture de Gelfond
- Problèmes de Hilbert
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