Discuter:Série de Fourier

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	la première urgence est d'évoquer de façon précise les usages des séries de Fourier hors des mathématiques proprement dites (élec, acoustique, sciences de l'ingénieur...)

Sommaire

1 j'amorce?
2 suppression d'une précision
- 2.1 un commentaire sur les conventions et une erreur démasquée
3 "Critique" sur l'article
4 à la réflexion, nouvelle suggestion pour le plan
5 Dirichlet
6 Et pour les électriciens ?
7 série de Fourier, électrotechnique, physique, : un gros manque
8 Ecriture d'un polynôme trigonométrique
9 Indice dans l'expression de σ_N
10 Conditions initiales des cordes vibrantes

[modifier] j'amorce?

bizarre je trouve cette page de discussion vide. Je voulais poser une question: pourquoi ne donne-t-on jamais d'exemples numériques, dans des boîtes déroulantes par exemple? Michelbailly 23 mai 2006 à 16:13 (CEST)

d'abord il faut savoir que les boîtes déroulantes sont menacées cf Wikipédia:Prise de décision/Limitation des boîtes utilisateurs, page qui mélange tout et où je te conseille d'aller les défendre si on ne veut pas qu'elles disparaissent suite à un malentendu !

ensuite il y a quand même un exemple numérique (section exemples d'application), plus le dessin de Gibbs sur créneau. Mais j'ai paré au plus pressé en faisant un "catalogue de résultats" qui seraient à illustrer, redécouper, etc... j'espérais que d'autres matheux interviennent, que des physiciens viennent dire un mot aussi (même un mot méchant, nous avons l'habitude de prendre cela avec philosophie et de n'en faire qu'à notre tête :) ). Donc si tu as des idées générales de dessins, calculs d'illustrations, problèmes physiques et/ou mathématiques pertinents, etc... n'hésite pas ! Peps 23 mai 2006 à 21:00 (CEST)

Bonjour, la formule sommatoire de Poisson ? un article général sur la sommation des séries (y compris divergentes, ...)

vaste programme, avec tous les noyaux ad hoc... il faudra y venir... en commençant par créer un article procédé de sommation... l'article sur la formule sommatoire de Poisson existe et LeYaYa a fait du bon travail en lui donnant un visage plus humain.

Le lemme de Riemann-Lebesgue (de mémoire) ne suppose-t-il pas que l'intégrale converge absolument (au moins pour avoir une décroissance en 1/n) ? Claudeh5 20 juin 2006 à 13:04 (CEST)

l'hypothèse commune à tout le paragraphe 1 est "fonction continue par morceaux", et on revient sur ce lemme de Riemann Lebesgue plus bas : il est vrai dans l'espace L1 des fonctions Lebesgue intégrable, paragraphe 5.1. actuel.

en me limitant initialement au cas continu par morceaux je voulais rendre plus abordable la première partie. Cela dit, il est peut être préférable de tronçonner en deux articles, l'un, de vulgarisation, indiquant l'idée générale des séries de Fourier et quelques calculs simples, l'autre de résultats mathématiques fins Peps 20 juin 2006 à 14:00 (CEST)

Bonsoir, au § Les coefficients de Fourier de D sont alors définis comme

$c_p(D)=\frac1T < d | e^{-i\frac{2p\pi}{T}t}>$

L'écriture est-elle équivalente à celle trouvée dans l'article Distribution

$c_p(D)=\frac1T \langle d, e^{-i\frac{2p\pi}{T}t}\rangle$

où $e^{-i\frac{2p\pi}{T}t}$ est la fonction de test de la distribution $d$ ? --Claudius 23 juillet 2006 à 00:17 (CEST)

j'ai corrigé dans l'article : ça n'a effectivement rien d'un produit scalaire, c'est le crochet de dualité (d'habitude distribution contre fonction test C inifni à support compact, mais ici distrib à support compact contre l'exponentielle qui est C infini mais pas à support compact). Il y a clairement des trous qu'il faudra combler dans la présentation des distributions sur WP. Merci en tout cas Peps 23 juillet 2006 à 00:58 (CEST)

[modifier] suppression d'une précision

Les séries de Fourier ce n'est pas mon truc mais les réduction de formule trigo si....

J'ai donc supprimé les précisions suivantes :

$a_n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right ) + b_n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} \right )=\chi _n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} - \Phi _n \right )=\chi _n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} + \Phi _n \right )$ .

(

χ n

Φ n

se déduisent des

a n

b n

)

$\chi_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}$
$\Phi_n = atan \left ( {\frac{b_n}{a_n}} \right )$

d'une part car, il y a rarement égalité entre les deux derniers termes $\chi _n \cdot \cos \left ( nx\frac{2\pi}{T} - \Phi _n \right )=\chi _n \cdot \sin \left ( nx\frac{2\pi}{T} + \Phi _n \right )$ .

D'autre part, atan (...) fournit toujours une valeur comprise entre -pi/2 et pi/2 non compatible avec un a_n négatif (mais je ne sais pas si dans les séries de Fourier, il est possible que a_n soit négatif).

Ces précisions étant partiellement fausses et imprécises, je les laisse en page de discussion pour qu'on leur apporte des corrections et/ou des précisions. HB 27 novembre 2006 à 23:06 (CET) -:Evidemment que le a_n peut etre negatif ! C'est le produit scalaire entre deux elements d'un espace de Hilbert ... Il peut aussi etre nul. Apparemment, les series de Fourier, c'est vraiment pas ton truc.

Par contre, si tu reperes une erreur, il aurait fallu la corriger et non la supprimer. Tout part en réalité du fait que l'exponentielle est par definition un morphisme de groupes. De maniere elementaire :

cos(x - y) = cos(x).cos(y) + sin(x).sin(y)

Donc le quotient b_n/a_n doit etre la tangente de Phi_n. Peut importe comment on le definit. Ektoplastor, le 27 nov 2006, 23:42 CEST.

On a le droit de ne pas tout aimer en math et avec Fourier et bien ... pour tout dire... je suis fâchée. Enfin, entendons nous, par supprimer j'entends supprimer l'intervention qui a rajouté ces précisions et retour à une version plus juste. Enfin, je n'ai pas vu comment, sans alourdir le texte, préciser la valeurde phi_n. bien sûr tan(phi_n)=b_n/a_n si on réduit selon la première égalité (et à condition que a_n soit non nul) mais cela ne définit pas phi_n. Si on réduit selon le texte initial, Chi_n cos(... + phi_n) alors tan phi_n = - b_n/a_n avec les mêmes remarques (phi_n toujours pas défini par cette égalité). Ne connaissant pas les conventions de réduction sur Fourier, j'ai joué la prudence...

Suggestion phi_n est défini à 2pi près par cos(phi_n)=a_n/chi_n et sin(phi_n) = b_n/chi_n (à condition que chi_n soit non nul - si chi_n est nul, la réduction n'a pas lieu d'être car tout est nul) mais c'est lourd lourd lourd. HB 28 novembre 2006 à 09:46 (CET)

oh oui surtout ne rien ajouter de plus. C'est déjà pénible qu'il y ait tant de conventions (malheureusement toutes employées parce que toutes utiles), si en plus on explique tous les détails de passage des unes aux autres... on tombe dans le hors sujet total. D'ailleurs dans la pratique, on pose directement le problème sous la forme adaptée et il est excessivement rare qu'on passe d'une convention à l'autre Peps 28 novembre 2006 à 10:37 (CET)

Sauf dans des exercices de prepa :). Bon, pour HB, je ne comprends pas pourquoi tu es fachee avec la théorie de Fourier ! Je t'invite a en discuter sur le thé, nouvellement ouvert !

[modifier] un commentaire sur les conventions et une erreur démasquée

RMQ : (desole, je ne sais pas ou le mettre, alors je l'ai mis la ...)

si je peux me permettre, pour la phase, je crois qu'il faut utiliser atan2(y,x) = arg(x+iy) qui tient compte du signe de y ET de x (4 quadrants).
je crois qu'il y a une erreur ds la partie coeff. reels :

Cn = (An + iBn)/2, je crois que c'est plutot Cn = (An - iBn)/2 et donc iBn = C-n - Cn a verifier ...

pour le point 1 : je ne sais pas ce que vous appelez "atan2". Il y a effectivement une formule qui permet de récupérer l'argument principal du complexe x+iy, c'est

$\theta = 2\arctan \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}$

elle fonctionne sauf pour y=0, x négatif, ce qui est logique. Mais ce genre de détails me semble relever plus de l'article sur les coordonnées polaires.

pour le point 2 : c'est parfaitement exact, merci ! 9 août 2007 à 10:01 (CEST)

[modifier] "Critique" sur l'article

L'article actuel a du contenu mais son organisation me chagrine :

Pourquoi parler des conséquences de l'identité Parseval au paragraphe 2.4 avant de l'énoncer au paragraphe 3.2 ?

y a écrit en substance "on fera mieux ci-dessous", je ne vois pas ce qui gêne (?)

Ce qui gêne est que je n'arriverai pas à lire l'article si je ne connaissais pas l'identité de Parseval qui mérite bien un article. Convaincu ?

Pourquoi énoncer l'identité de Parseval au paragraphe 3.2 avant d'avoir évoqué l'espace L² ?

paske y en a pas besoin, elle est vrai dans le cadre continu par morceaux

Parce qu'une fonction continue par morceaux est L2 ! Ce que je veux dire, c'est que le cadre naturel pour énoncer et démontrer l'identité de Parseval est de se placer dans l'espace fonctionnel L2. D'ailleurs, dans l'énoncé donné, tu utilises précisément la norme L2 !

bin oui mais elle est définie avant l'espace L2 !!!

Pourquoi parler de produit scalaire et de projection orthogonale avant de parler d'espace de Hilbert ?

idem, un préhilbertien suffit

Non. Pour écrire $f=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_ne_n$ dans L2, il est nécessaire d'utiliser la complétude de l'espace L2.

ça c'est plus fort que Parseval, c'est cvgce en moy quadratique. Il n'empêche : elle est vrai aussi dans le cadre continu par morceaux. Preuve par thm de Weierstrass ou de Fejér et comparaison norme infini -norme 2

En fait c'est exactement équivalent. Tu peux déduire ce résultat de l'égalité de Parseval et inversement.

ça dépend si tu le dis pour une/toute fonction

Enfin, un des manques de l'article est de ne pas avoir consacré un paragraphe entier spécifiquement au comportement des suites de Fourier.

comprends pas ??? comportement des coeff ?

Si j'ai bien compris l'article (évidemment), mais il manque un certain nombre de thèmes incontournables. (Ce n'est pas gênant, mais il faudra les rajouter un jour.)

Est-il écrit quelque part que l'application qui à une fonction associe la suite de ses coefficients de Fourier est injective ?

oui mais tu peux l'écrire plus clairement

OK, paske c'est important : les coefficients "codent" les fonctions.

parfaitement d'accord, à faire resortir dès le début

Ekto - Plastor 19 février 2007 à 20:33 (CET)

Voici le principe que j'avais suivi jusque là, qui est discutable : énormément de personnes sont susceptibles de venir lire des choses sur les séries de Fourier (domaine ô combien partagé avec d'autres disciplines) sans avoir de connaissances préalables en intégration, analyse hilbertienne, ou encore moins en théorie des distributions. Réciproquement, pour un article "tour d'horizon", il faut que toutes ces choses soient mentionnées (pour renvois détaillés). Il manque d'ailleurs à évoquer l'analyse harmonique abstraite.

Du coup pour le plan que j'avais choisi, les principes directeurs étaient

"tenir" un maximum de temps avec les fonctions usuelles, c'est à dire continues par morceaux (tous les signaux classiques, tous les calculs explicites classiques en sont). Parseval, l'injectivité ont un sens et se prouvent dans le cadre continu, et même continu par morceaux (modulo nbre fini dee pts).
faire passer l'analyse avant la synthèse puisque l'analyse ne pose pas de problème et qu'elle correspond à une autre façon de voir les fonctions (spectre).
suivre un ordre dicté par une logique d'exposition des résultats plus que par la preuve
laisser les articles techniques donner les hypothèses détaillées et les preuves

on peut faire des critiques à cet agencement,

on ne "saute" pas directement sur le cadre L2, qui peut paraître le bon cadre. Mais d'un autre côté, ce n'est pas le bon cadre parce que L1 se justifie tout autant, et même les distributions, donc autant attaquer par le plus simple, AMA
il n'est pas précisé comment démontrer les choses : mais le pb c'est qu'il y a plusieurs cadres possibles, plusieurs façons de procéder, je ne me vois pas les évoquer tous dans l'article généraliste

je m'aperçois que le plus regrettable c'est que le parti pris (fonctions continues par morceaux d'abord) ne saute pas suffisamment aux yeux

Peps 19 février 2007 à 21:09 (CET)

Commencer par les fonctions continues par morceaux est une bonne idée. Mais il ne faudrait pas occulter les véritables aspects mathématiques :).

Un meilleur plan que je te propose est le suivant. J'ai essayé de faire un mixte entre le plan auquel je pensais et l'existant.

Aspects historiques
Spectre en fréquences
1. Coefficients complexes
2. Coefficients réels
3. Egalité de Parseval
Reconstitution des fonctions
1. Théorème de convergence de Dirichlet
2. Phénomène de Gibbs
3. Théorème de convergence uniforme
4. Convergence en moyenne quadratique (c'est seulement ici qu'on traite du cas L2)
5. Théorème de Fejer
Applications
1. Calculs de séries
2. Formule sommatoire de Poisson
3. Equation aux dérivées partielles
Comportement des coefficients
1. Fonction höldérienne
2. Fonction de classe C^k
Extensions
1. Fonctions intégrables
2. Distributions

Bon, ce n'est pas le plan idéal. Je pense que tu vas encore me reprocher de vouloir faire une refonte d'un article. Il est peut-être même moins bien que celui que tu proposes. Mais il a l'avantage de donner une place à une ouverture de l'article. De plus, la difficulté est plus ou moins par ordre croissant au fil de la lecture de l'article, plus moins que plus pour être franc. Enfin, il n'est pas facile dans cet article d'être concis clair et de donner un panorama suffisamment large tout en évitant d'utiliser un vocabulaire trop sophistiqué

. Ekto - Plastor 19 février 2007 à 21:42 (CET)

je vais certainement pas te reprocher d'être passé par la case discussion et d'avoir tenu compte d'un autre avis

en plus ton plan n'est pas mal du tout, sa structure est plus claire en tout cas.

juste pour vérifier que je pige bien

3.3 c'est la version cvgce uniforme du théorème de Dirichlet, c'est ça ?

faudrait ajouter dans le paragraphe applications les inégalités fonctionnelles genre inégalité de Wirtinger, inégalité de Bernstein

pour le paragraphe "comportement des coeff" (en rajouteant L2 of course), à la base je le voyais dans "spectre en fréquences", mais c'est sans doute mieux de le mettre à part

Peps 19 février 2007 à 22:00 (CET)

J'essaye de répertorier les pages qu'il faut considérer conjointement à celle-ci

série trigonométrique (j'y ai rangé le thm d'unicité de Cantor, qu'on pourrait rendre indépendant)
noyau de Dirichlet et Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier
noyau de Fejér et théorème de Fejér à créer
plus autres noyaux classiques
théorème de Parseval
théorème de Riemann-Lebesgue
base de Hilbert (pour la déf générale de "coeff de Fourier", "syst total")
analyse harmonique abstraite (quel titre ???)
théorème de Weierstrass bicoze il peut servir de point de départ ou au contraire de conséquence
... to be continued

Il faut penser à faire des loupes ...

Ekto - Plastor 19 février 2007 à 21:44 (CET)

Qu'appelles-tu "analyse harmonique abstraite" ? Qu'est-ce que tu considères comme abstrait ? N'est-ce pas subjectif ? Ekto - Plastor 19 février 2007 à 22:23 (CET)

complètement, d'où les points d'interrogation pour le titre... Peps 20 février 2007 à 10:48 (CET)

[modifier] En cours

J'ai effectué la permutation, il faut réviser la présentation en conséquences, et développer les paragraphes vierges, éventuellement résumer certains paragraphes et créer des articles connexes.

Ekto - Plastor 20 février 2007 à 18:02 (CET)

Pour le calcul de la somme des séries, j'ai introduit une boîte déroulante. Est-ce mieux ainsi ? Ekto - Plastor 20 février 2007 à 18:39 (CET)

oui

[modifier] Harmonisation des notations

Je n'ai pas d'avis formel sur les points suivants mais il faudrait homogénéiser un bon coup

met-on des dépendances pour les coeff de Fourier c_n ou c_n(f), a_n ou a_n(f) etc. ?

Je suis plutôt pour faire apparaitre la dépendance des coefficients en f ; autant être explicite !

OK, modulo n'avoir rien oublié
à un moment dans l'article fait on le changement de var pour se ramener au cas $2π$ périodique ? (je pense que si on le fait il faut le dire au début de la section 2, là où sont indiquées les conventions générales).

Je préfère qu'on garde la convention T-périodique.

ça me va
c'est moins important mais ce serait bien d'homogénésier les indices muets pour avoir toujours c_n(f) par exemple (sommé de -p à p alors)Peps 23 février 2007 à 16:58 (CET)

Pourquoi ? Ekto - Plastor 23 février 2007 à 17:51 (CET)

je suis d'accord que ça n'a aucune incidence, c'est simplement le confort de lecture ! Peps 23 février 2007 à 21:31 (CET)

D'un autre côté, on peut dire qu'écrire la somme partielle $S n (f)(x)$ au lieu de $S p (f)(x)$ est aussi un confort de lecture, non ? Ekto - Plastor 23 février 2007 à 23:35 (CET)

[modifier] Introduction

Peps, pourquoi as-tu déplacé l'introduction dans une première section ? Ekto - Plastor 24 février 2007 à 15:39 (CET)

Trois raisons (discutables of course)

j'ai rallongé la sauce pour détailler un peu, donc ça finissait par faire une méga intro
il y avait un titre approche intuitive et ça m'est déjà arrivé de me faire ~~engu~~ reprendre par des puristes : un titre doit toujours apparaître dans la table des matières.
on a aussi le droit d'arriver sur l'article en connaissant à peu près les séries de Fourier, auquel cas il est bon d'avoir une distinction entre intro (présentation rapide des enjeux généraux) et une motivation (/ approche intuitive/ autre titre au choix) qui s'adresse surtout aux gens qui ne connaissent pas. Il en faut pour tous les goûts ! Peps 24 février 2007 à 17:02 (CET)

Un puriste serait plutôt mécontent de voir un paragraphe motivations et qui se résume simplement à donner une présentation intuitive de ce qui va se passer. Une motivation serait plutôt d'étudier l'équation de la chaleur, par exemple. Je serai pour conserver le titre approche intuitive.

tu as raison je remets le titre approche intuitive

Si quelqu'un connait déjà le sujet, il ne lira pas l'article en détails mais se reportera directement vers le paragraphe qui l'intéresse. L'argument ne tient pas.

Par contre, ce que je trouve très décevant, c'est qu'on se retrouve avec une introduction de trois lignes. Et c'est la principale raison pour laquelle je suis contre ce déplacement. Je changerais d'avis si tu proposais une introduction qui ne fasse pas doublon ave le nouveau premier paragraphe.

Bonne chance.

Ekto - Plastor 24 février 2007 à 17:29 (CET)

je vais donner mon argument autrement. Ce qui me choquait dans l'arrangement précédent c'est qu'on redéfinissait tout (fonctions périodiques etc) dans l'intro : j'arrive en cliquant sur série de Fourier et on commence à me parler de la déf de fonction périodique...

ce n'est pas le rôle de l'intro : une intro doit je pense présenter de façon synthétique le contenu et les grandes étapes de l'article. En maths, elle utilisera donc plus ou moins obligatoirement un peu de jargon et elle sera assez courte.

mais surtout je dirais qu'il faut la rédiger après avoir fini de faire évoluer l'article... enfin je vais essayer. Peps 24 février 2007 à 20:30 (CET)

[modifier] à la réflexion, nouvelle suggestion pour le plan

En avançant, forcément, on change d'avis.

Tu as parfaitement raison ... Et dire qu'il y a des gens qui reprochent à d'autres de changer d'avis

. (E)

"ce n'est pas la girouette qui tourne, c'est le vent" (le regretté Edgar Faure)

Dans quel contexte a-t-il dit cette phrase ? (E)

je ne sais plus, tiens. Mais c'est pour répondre à la critique classique qui lui était adressée

Lorsqu'on sort une phrase de tout contexte, elle perd toute signification. Si elle est prononcée aujourd'hui par certains hommes politiques dans une certaine situation, soit je les approuverai pour leur courage politique, soit au contraire je les accuserai de jeter une phrase facile pour détourner l'attention.

Donc tout dépend qui, quand, comment, pourquoi ... Ekto - Plastor 26 février 2007 à 13:43 (CET)

Je trouve qu'avec le début du plan, finalement on gère assez bien les hypothèses de régularité. Par exemple à plusieurs reprises on parle de fonction intégrable, carré sommable, sans que ça choque (tant qu'on ne passe pas au quotient pour obtenir les espaces Lp, ça va). Parler d'extension de la série de Fourier pour L1, par contre c'est un peu exagéré.

C'est aussi ce que je me disais. (E)

Je verrais donc bien un redécoupage pour les paragraphes 6 et 7

nouveau paragraphe 6 : série de Fourier et espace fonctionnel
- espace L2 : not thm de Riesz Fischer
- comportement des coeff de Fourier (qui généralise la problématique Riesz Fischer : parfois on a une caractérisation, parfois de simples implications).
nouveau paragraphe 7 : extensions proprement dites
- distributions
- espaces hilbertiens
- coeff de Fourier pour groupe topo

Les propriétés de cvgce simple dans le cas L1 pourraient aller dans "cvgce simple"

Un avis ? Peps 25 février 2007 à 15:03 (CET)

Oui, à quelques détails près : ton nouveau paragraphe 6 devrait simplement s'appeler analyse fonctionnelle ; pourquoi y mettre le comportement des coeffs de Fourier ? ; qu'appelles-tu coeff de Fourier pour un groupe topologique ?

Ekto - Plastor 25 février 2007 à 15:58 (CET)

le contenu de ce paragraphe analyse harmonique (mathématiques)#Analyse harmonique abstraite Peps 25 février 2007 à 19:57 (CET)

Ce qui ne répond à aucune de mes questions ...

Ekto - Plastor 25 février 2007 à 23:50 (CET)

Effectivement, j'ai répondu un peu vite et ce n'était même pas clair de savoir à quelle question

pour mon emploi abusif de "coeff de Fourier" : "Complex-valued functions on a finite abelian group have discrete Fourier transforms which are functions on the dual group, which is a (non-canonically) isomorphic group. Moreover any function on a finite group can be recovered from its discrete Fourier transform." Tout ce qui relève de la TF discrète peut à bon droit être mentionné ici.

pour analyse fonctionnelle et coeff : les conditions de régularité sont des conditions d'appartenance à certains espaces fonctionnels. Avec les coeff on caractérise l'appartenance à C^infty et L^2 par exemple, et on a des implications du type C^k implique coeff en o(n^{-k}), réciproquement, o(n^{-(k+2)}) implique C^k.Idem avec lipschitz, holder, variation bornée, ...

en plus il faut ajouter les séries de Fourier-Bohr pour les fonctions pseudo périodiques, oubliées jusqu'ici, dans les extensions

Pour les groupes commutatifs finis (sujet dont j'ai décidé de ne plus m'occuper sur WP), les "coeffs de Fourier" sont en nombre fini, non ? Pour des groupes topologiques, lorsqu'une théorie de Fourier cohérente existe, la transformée de Fourier d'une fonction sur le groupe (avec bonnes propriétés) est en réalité une fonction sur le spectre du groupe, l'ensemble de ses caractères. Essentiellement :

$F(\xi)=\int_Gf(x)\overline{\xi(x)}dx$

En un certain sens, cela généralise plus logiquement la théorie de Fourier continue (sur $\mathbf R$ ) plutôt que celle discrète (sur $\mathbf S^1$ ).

Le comportement des coefficients de Fourier sera déjà traité dans le paragraphe 5.

Voilà.

Ekto - Plastor 26 février 2007 à 13:43 (CET)

pour les coeff de Fourier il y a eu quiproquo : je parlais des actuels paragraphes 6 et 7, donc je ferais disparaître la tête de chapitre "coeff", en considérant que les coef rentrent dans une problématique de description "spectale" des espaces fonctionnels Peps 26 février 2007 à 15:32 (CET)

[modifier] Dirichlet

Excuses-moi, Peps. J'ai modifié le paragraphe sur le thm de Dirichlet. Je l'ai validé après ton changement car la page était bloquée pour maintenance. Ekto - Plastor 25 février 2007 à 18:29 (CET)

j'ai pô bien compris si tu avais fusionné ma version dans la tienne ou si on est intervenu dans le même sens au même moment. En tout cas ton paragraphe me va très bien, donc restons là dessus. Peps 25 février 2007 à 20:20 (CET)

Seconde hypothèse !

Ekto - Plastor 25 février 2007 à 23:50 (CET)

[modifier] Et pour les électriciens ?

Moi (mais je suis loin d'être le seul) je calcule les coef réels avec la formule générale :

coef an = (2/période) . Intégrale sur la période (choisir les bornes pour faire le moins d'effort possible) de f(variable) d(variable).

Je choisi la variable qui m'arrange le plus (cela dépend des cas, mais c'est encore pour faire le moins d'effort possible)

Le plus souvent c'est l'une de ces deux là :

soit : $a_n(f) = \frac{2}{T} \int_{t}^{t+T} f(t) \cos\left(nt\frac{2\pi}{T}\right)\,dt$
soit : $a_n(f) = \frac{2}{2\pi} \int_{\theta}^{\theta+2\pi} f(\theta) \cos\left(n\theta\right)\,d\theta$

On peut mettre un truc comme ça dans l'article ???

La seule définition des coefficients a_n ne suffisent pas. Il faut aussi considérer les coefficients b_n. La définition y est déjà ; il n'y a certainement rien à ajouter. On insiste d'avantage sur les coefficients c_n par la suite (encore que ...), car ils sont plus faciles à manipuler, mais aussi parce que, pour une fonction réelle, les coefficients réels ne sont autres que leurs parties réelles et imaginaires des coefficients complexes, modulo un facteur 2. (E)

Enfin il y a d'autres petits trucs pour faciliter les calculs pour les cas très fréquemment en électricité (Signaux rectangulaires ou triangles ou encore sinusoide tronquée) et ce qu'on appelle la symétrie de glissement : f(t) = -f(t + T/2) alors tout les harmoniques multiples de 3 sont nuls. Je peux le mettre aussi ?

Si cela ne convient pas, peut-on envisager un paragraphe pour électriciens ??? PNLL 26 février 2007 à 22:14 (CET)

A mon avis, calculer les coefficients réels ne simplifient pas vraiment les calculs (c'est un point de vue). En pratique, lorsque les coefficients réels sont directement calculables, alors les coefficients complexes sont en fait toujours calculables directement. La réciproque n'est pas toujours vérifiée (je veux dire : calculer en pratique les coefficients réels sans repasser par les coefficients complexes). De plus, les calculs sont toujours plus faciles pour les coefficients complexes.

Mais il y en effet un certain nombre d'invariance ou de symétrie qui permettent de simplifier les calculs. Ces considérations seront développer dans la partie Comportement des coefficients où seront expliqués le comportement de la suite des coefficients de Fourier, l'annulation de certains coefficients, les méthodes de calcul effectif des coefficients, ...

Donc, pas d'inquiétude : personne ne sera oublié.

Et c'est vrai que la discussion ci-dessus avec Peps peut effrayer sur certains points. On évoquait juste des ouvertures brèves de l'article vers d'autres sujets mathématiques.

Ekto - Plastor 26 février 2007 à 23:04 (CET)

j'ai ajouté deux mentions sur le fait qu'on peut choisir l'origine comme on veut, ce qui est effectivement une remarque importante en pratique et qui évitera que les lecteurs soient surpris d'avoir une formule différente de celle de l'article.

par contre moi aussi j'aurais eu tendance à parler de la symétrie de glissement, c'est-à-dire de la "translation du graphe", en complexes et en réels (en réels les formules jolies sont t+T mais aussi t+T/2) plus tôt dans l'article Peps 26 février 2007 à 23:25 (CET)

Ah!? Bon, on peut toujours changer. Mon idée est que simplement que les coefficients de Fourier sont autre chose qu'un truc à faire des calculs. Evidemment que c'est important de savoir calculer les coefficients de Fourier pour un grand nombre de fonctions usuelles. Mais à quoi bon calculer des objets s'ils ne servent à rien ? Il faut d'abord expliquer comment les coefficients déterminent les fonctions.

Ekto - Plastor 26 février 2007 à 23:35 (CET)

Je n'ai mis que les a_n pour faire rapide, il y a des formules similaires pour les b_n. Bien souvent, on choisi l'origine de manière à ce que notre courant soit pair ou impair, ce qui élimine l'un des deux. C'est très utile de calculer les premiers harmoniques : les harmoniques de rang 3 et les multiples de 3 créent des champs magnétiques pulsants (on dit homopolaire) dans les machines ce qui conduit à une augmentation considérable des pertes. Les harmoniques pairs créent des saturations de circuits magnétiques qui provoquent une augmentation considérable de l'intensité réactive appelée et pâr conséquent une augmentation des pertes. Enfin le harmonique 5 et 7 sont traqués car il peuvent produire, par le biais de résonance, des surintensités qui empêchent l'installation de fonctionner voir : http://www.intersections.schneider-electric.fr/stock_images/telec/1/n3/GT_Perturbations.pdf - page 8. Voir aussi dans ce même document les définitions données page 2 : comment intégrer ce genre de chose à cet article pour qu'ils soient visibles des membres de la noble corporation des électrotechniciens ? PNLL 27 février 2007 à 12:29 (CET)

[modifier] série de Fourier, électrotechnique, physique, : un gros manque

Cette discussion avec PNLL me pousse à faire une réflexion globale sur l'article : il y a un gros biais et un gros pan qui manque à mon avis. Je m'explique.

Les séries de Fourier sont un objet mathématique, soit, il est normal de les présenter en détail pour cela. Pourtant dans les applications des séries de Fourier, il y a deux types de cas grosso modo

le cas type "équation de la chaleur" : on décompose en série, ça marche et pourtant chaque terme individuel de la série ne représente pas quelque chose de très clair physiquement parlant.
le cas "corde vibrante" et j'imagine électrotech. : les termes de la série ont un sens et on superpose des quantités qu'on sait interpréter. La notion d'harmonique, de résonance, ont un contenu concret.

Ce serait bien qu'il y ait une présentation de la situation dans ce cas-là, avec des exemples genre ce qui est dit au dessus sur le sens concret des termes, mais pas trop de considérations sur le calcul en pratique, qui est un peu non encyclopédique (on ne va pas faire un manuel avec les conventions de chaque branche).

Du coup ce serait bien de monter les applications plus haut dans le plan ? ou de mettre ça dans le paragraphe approche intuitive ? Peps 28 février 2007 à 14:55 (CET)

Merci Peps ! Je précise que je suis arrivé sur cette page car je travaille sur puissance (physique), facteur de puissance et méthode de Boucherot aux paragraphes : cas des régimes de courants non sinusoïdaux qui sont importants et qui nécessitent quelques notions sur les séries de Fourier (ne serait-ce que pour comprendre les normes) : Cf le lien vers schneider électrique ci dessus. Je voudrais faire des liens vers cet article pour ne pas être obligé de détailler tout le formalisme dans chacun de ces articles. PNLL 28 février 2007 à 22:27 (CET)

[modifier] Ecriture d'un polynôme trigonométrique

Dans la partie approche intuitive il y à écrit qu'un polynôme trigonométrique s'écrit ainsi : $P(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n (P)\exp\left(i \frac{2n\pi}{T} x\right).$

Il me semble que le nombre de coefficient d'un polynôme doit être fini, donc je pense qu'il faut écrire: $P(x)=\sum_{n=-k}^{k}c_n (P)\exp\left(i \frac{2n\pi}{T} x\right).$

Êtes vous d'accord avec moi?

Bongilles 18 mai 2007 à 14:54 (CEST)

[modifier] Indice dans l'expression de $σ N$

J'ai l'impression (mais je ne suis pas un expert de Fejer), qu'il s'est glissé une ereure de notation pour l'expression de $σ N$

Il y à écrit : $\sigma_N (f)= \frac1N\sum_{k = 0}^{N-1} S_N(f)= \sum_{k = -N+1}^{N-1} \frac {N-k}{N} c_k(f) \cdot e^{i kx\frac{2\pi}{T}}$

N'est ce pas plutôt $S k (f)$ à la place de $S N (f)$ ?

Si je fais le calcul à partir de ce qu'il y'à actuellement on trouve $σ N = S N (f)$ :

$\sigma_N(f) = \frac1N\sum_{k = 0}^{N-1} S_N(f) = \frac1N (N S_N(f)) = S_N(f)$

Bongilles 18 mai 2007 à 17:04 (CEST)

[modifier] Conditions initiales des cordes vibrantes

N'y a-t-il pas une erreur dans les CI ? J'ai envie de remplacer la CI sur $\frac{\partial u}{\partial x}$ par quelque chose qui porterait sur $\frac{\partial u}{\partial t}$ . Il faudrait dire que x est une variable d'espace, t de temps. Quel rapport entre les coeff a_n et b_n et les fonctions f et v ? N'y a-t-il dépendance des solutions que par rapport à une seule des deux CI ? Désolé de ne rien faire moi-même, mais il n'y a rien dont je sois vraiment sûr, et certains points où je crains vraiment de dire des bêtises. Salle 3 août 2007 à 17:12 (CEST)

Autre question : cela vaut-il la peine d'écrire un paragraphe spécifique sur la résolution de l'équation de la chaleur ? Je ne me rappelle plus si on utilise série ou transformée de Fourier. Que faisait Fourier au XIXème ? Salle 3 août 2007 à 21:05 (CEST)

en effet il y avait une coquille, merci. Les CI spatiales indiquent que la corde est fixée aux extrémités, et on peut préciser le profil initial de la corde fonction f), et la distrib de vitesses initiales fonction v pour aboutir à une solution unique. Si on prend la valeur de la solution à t=0 on trouve f(x)= somme an sin (n pi x) ce qui montre que les an sont les coeff de Fourier de f, de même les bn sont ceux de g (à des choix de conventions près).

oui, mais c'est bizarre : on impose que f est paire et v(=g ?) est impaire ?Salle 3 août 2007 à 23:07 (CEST)

c'est une astuce technique habituelle : on multiplie par pi, donc f et v sont définies seulement sur une demi période, on les prolonge comme ça nous chante en deux fonctions f1 et v1 l'une paire l'autre impaire. Mais rentrer dans ce genre de considérations est un peu raide.

souvent les physiciens font l'hypothèse position initiale nulle ou vitesse intiale nulle.

pour la chaleur : oui parce que les cordes vibrantes ça date d'avant Fourier, et on arrive à donner un sens aux fonctions qui apparaissent. C'est l'apport magistral de Fourier d'introduire des décompositions trigo là où l'intuition physique n'y pousse pas du tout. Il résout l'équation de la chaleur sur un carré Peps 3 août 2007 à 21:34 (CEST)

mais en y réfléchissant, c'est encore du domaine de la séparation de variables, alors ça risque de faire un peu redite avec les cordes vibrantes. Il vaudrait peut être mieux évoquer le noyau de Poisson et la convergence façon Abel pour trouver les fonctions harmoniques sur un disque. Peps 3 août 2007 à 21:54 (CEST)

Si les deux sont trop semblables, le choix naturel me semblerait l'équation de la chaleur, puisque c'est l'exemple historique. Sinon, il faudrait une phrase pour justifier qu'on privilégie la corde vibrante, et renvoyer à l'article sur l'équation de la chaleur, où le calcul mathématique de la solution pourrait apparaître. Pour la suite, ça me fait penser au problème de Dirichlet, j'avais un développement d'agreg dessus, mais je ne passais pas par Fourier : tout ça pour dire que je ne sais pas.Salle 3 août 2007 à 23:07 (CEST)

c'est un peu plus compliqué : après vérif dans Kahane il semble que Fourier ait traité l'équation de l'équilibre de la chaleur sur un prisme à base rectangulaire de hauteur infinie. Le résultat est moins parlant, il ne fait pas intervenir que des fonctions trigo, et il n'est pas étudié dans un autre article, contrairement au problème des cordes vibrantes.

il me semble que l'étude du noyau de Poisson est contemporaine des travaux de Fourier, mais que le lien n'avait pas été fait. La notion d'exemple historique est en fait un peu compliquée ici, parce que les calculs ont existé un bon moment avant d'être unifiés. A la réflexion, je privilégierais plutôt les exemples "qui sont restés dans les annales". Peps 4 août 2007 à 00:01 (CEST)