Résidu d'un entier naturel
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Le résidu (ou racine numérique) d’un entier naturel est le nombre obtenu en additionnant tous ses chiffres, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un nombre à un seul chiffre.
Par exemple, le résidu du nombre 65 536 est 7 car 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25, puis 2 + 5 = 7.
Dans des cas particuliers, le résidu d’un entier prend des valeurs bien déterminées.
- Le résidu d’un carré parfait est 1, 4, 7, ou 9.
- Le résidu d’un nombre premier (à l’exception de 3) est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8.
- Le résidu d’une puissance de 2 est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8.
- Le résidu d’un nombre parfait (excepté 6) est 1.
- Le résidu d’un nombre étoilé est 1 ou 4.
Les résidus peuvent être calculés à l’aide des congruences plutôt que par l’addition de tous les chiffres. En effet, si on considère le reste n de la division euclidienne de N par 9 (c’est-à-dire que N est congru à n modulo 9) :
- si n = 0, le résidu de N est 9
- sinon, le résidu de N est n.
Les résidus d’entiers peuvent être utilisés comme somme de contrôle.
On peut également citer certaines pseudo-sciences telles que la numérologie qui y font couramment appel ; voir l'article Numérologie récursive à 9 nombres.
[modifier] Propriétés
Des propriétés des congruences sur les entiers, on peut en déduire :
- Le résidu d'une addition de 2 entiers est le résidu de la somme des résidus de chaque terme
- Le résidu d'une multiplication est le résidu du produit des résidus de chaque facteur
Par exemple : 1234 + 5678 = 6912 et 1234 × 5678 = 7006652
Le résidu de 1234 est 1. Le résidu de 5678 est 8.
Le résidu de 6912 est 9, qui est bien le résidu de 9 (venant de 1 + 8).
Le résidu de 7006652 est 8, qui est bien le résidu de 8 (venant de 1 × 8).
