Régularité par morceaux

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Certaines propriétés d'analyse sont énoncées avec des fonctions vérifiant des hypothèses telles que continu par morceaux, de classe \mathcal C^k par morceaux, etc.

[modifier] Régularité par morceaux sur un segment

Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a,b] quand il existe une subdivision \sigma : a_0=a<a_1<\dots <a_n=b telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]ai,ai+1[ admettent un prolongement continu à l'intervalle fermé [ai,ai+1].

Concrètement une telle fonction f est continue sur ]ai,ai+1[ et admet une limite finie à droite et à gauche en chaque ai ( lesquelles peuvent être distinctes et distinctes de la valeur de f au point ai lui-même ).

On définit de même les fonctions de classe \mathcal C^k par morceaux, linéaires par morceaux, etc.

On notera qu'une fonction de classe \mathcal C^1 par morceaux, par exemple, n'est pas nécessairement continue en ai, mais qu'elle admet des limites et dérivées à droite et à gauche en ai.

[modifier] Régularité par morceaux sur un intervalle

Une fonction est continue (ou autres propriétés) par morceaux sur l'intervalle I quand elle est continue (ou autre) par morceaux sur tout segment de I.

[modifier] Domaines où l'on utilise la régularité par morceaux