Fonction linéaire par morceaux

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Une fonction (en bleu) et une approximation linéaire par morceaux de celle-ci (en rouge).

Une fonction linéaire par morceaux en 2D (en haut) et les polytopes convexes sur lesquels elle est linéaire (en bas).

En mathématiques, une fonction linéaire par morceaux

,

où V est un espace vectoriel et Ω est un sous-ensemble d'un espace vectoriel, est une fonction vérifiant la propriété suivante: en décomposant Ω en un nombre fini de polytopes convexes, f est alors égale à une fonction linéaire sur chacun de ces polytopes.

Un cas particulier important est le suivant: f est une fonction à valeurs réelles sur un intervalle [x₁,x₂]. alors f est linéaire par morceaux si et seulement si [x₁,x₂] peut être partitionné en un nombre fini de sous-intervalles, de telle manière que sur chacun des sous-intervalles I, f est égale à une fonction linéaire

f(x) = a_Ix + b_I.

La fonction valeur absolue f(x) = | x | est un bon exemple de fonction linéaire par morceaux. On peut trouver d'autres exemples comme les signaux carré, les signaux en dent de scie, et la fonction partie entière.

Enfin, il existe une classe importante de fonctions linéaires par morceaux incluant les fonctions continues linéaires par morceaux et les fonctions convexes linéaires par morceaux.

[modifier] Voir aussi

• fonction linéaire