Règle de Cauchy

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La règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes complexes, ou à termes dans un espace de Banach.

On lui donne parfois aussi le nom de « critère de Cauchy » mais il y a risque de confusion avec l'énoncé très utile « toute suite de Cauchy de réels (ou complexes) converge » qui est celui qu'on désigne le plus souvent comme le « critère de Cauchy », et qui peut aussi être écrit pour l'étude des séries.

[modifier] Énoncé simplifié

Soit $(x_n)\,$ une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé, par exemple une suite de complexes, et telle que la limite suivante existe :

$p=\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n] {\left\|x_n\right\|}$

si p est strictement inférieur à 1 alors la suite $(x_n) \,$ converge vers zéro et même la série de terme général $(x_n) \,$ est absolument convergente.

Donc, dans ce cas, si E est complet (par exemple si E=C), la série est convergente.

si p est strictement supérieur à 1, alors la suite ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.

si p vaut 1, on ne peut pas conclure : c'est le cas douteux de la règle de Cauchy

Il faut prendre garde aux deux faits suivants:

cette limite n'existe pas forcément

la règle n'a pas de réciproque: la série de terme général $(x_n) \,$ peut être absolument convergente sans que la suite de terme général $\sqrt[n] {\left\|x_n\right\|}$ ne soit convergente; tout ce qu'on peut dire est que si elle est convergente, alors sa limite ne peut être strictement supérieure à 1 et est donc inférieure ou égale à 1.