Polynôme minimal trigonométrique

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Les nombres de la forme :

$\cos(\frac{k\pi}{n}) \qquad \sin(\frac{k\pi}{n}) \qquad \tan(\frac{k\pi}{n})$

sont des nombres algébriques et à ce titre, ils admettent un polynôme minimal sur $\mathbb{Q}[X]$ . On obtient même des polynômes de degrés moindres en acceptant que les coefficients du polynôme appartiennent à un corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ . d étant un diviseur de n.

Dans cet article, on nommera donc $\mathbb{Q}(\sqrt{d})[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans le corps quadratique $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ .

Sommaire

1 Polynôme minimaux de nombres de la forme 2cos(kπ/n) ou 2sin(kπ/n).
2 Polynômes minimaux de nombres de la forme tan(kπ/n).
3 Formules générales en relation avec les coefficients des polynomes minimaux trigonométriques.
- 3.1 Formules de sommations
- 3.2 Formules de produits

[modifier] Polynôme minimaux de nombres de la forme 2cos(k $π$ /n) ou 2sin(k $π$ /n).

Ci-dessous se trouvent, dans l'ordre des degrés croissants, les premiers polynômes minimaux des nombres de la forme 2.cos(k $π$ /n) ou de la forme 2.sin(k $π$ /n). Le facteur 2 n'est là que pour simplifier les coefficients du polynome.

[modifier] Polynômes du premier degré

$x - 1 \qquad x + 1 \qquad x - 2 \qquad x + 2$

sont respectivement les polynômes minimaux des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{3}), \qquad 2\cos(\frac{2\pi}{3}), \qquad 2\cos(0), \qquad 2\cos(\pi). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{6}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{6}), \qquad 2\sin(\frac{\pi}{2}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{2}). ~$

$x - \sqrt{2} \qquad x + \sqrt{2} \qquad x - \sqrt{3} \qquad x + \sqrt{3}$

sont respectivement les polynômes minimaux dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ et $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{4}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{4}), \qquad 2\cos(\frac{\pi}{6}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{6}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{4}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{4}), \qquad 2\sin(\frac{\pi}{3}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{3}). ~$

[modifier] Polynômes de second degré

$x^2 - x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{12}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{12}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{12}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{12}). ~$

$x^2 + x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{12}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{12}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{12}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{12}). ~$

$x^2 - x\sqrt{5} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{5}), \qquad 2\cos(\frac{2\pi}{5}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{10}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{10}). ~$

$x^2 + x\sqrt{5} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{5}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{5}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{10}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{10}). ~$

[modifier] Polynômes du troisième degré

$x^3 - x^2 - 2x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{7}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{14}). ~$

$x^3 + x^2 - 2x - 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{7}), \qquad 2\cos(\frac{6\pi}{7}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{14}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{14}). ~$

$x^3 - 3x - 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{9}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{18}). ~$

$x^3 - 3x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{9}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{9}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{18}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{18}). ~$

$x^3 - x^2\sqrt{7} + \sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{14}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{7}). ~$

$x^3 + x^2\sqrt{7} - \sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{14}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{14}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{7}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{7}). ~$

$x^3 - 3x - \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{18}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{4\pi}{9}). ~$

$x^3 - 3x + \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{18}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{18}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{9}), \qquad 2\sin(\frac{-4\pi}{9}). ~$

$2x^3 + (1 + \sqrt{13})x^2 - 2x - 3 - \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{4\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{10\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{12\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{5\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{26}). ~$

$2x^3 + (1 - \sqrt{13})x^2 - 2x - 3 + \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{6\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{26}). ~$

$2x^3 - (1 - \sqrt{13})x^2 - 2x + 3 - \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{3\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{26}). ~$

$2x^3 - (1 + \sqrt{13})x^2 - 2x + 3 + \sqrt{13} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{13})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{13}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{13}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{7\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{26}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{26}). ~$

[modifier] Polynômes du quatrième degré

$x^4 - 4x^2 + 2 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{8}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{8}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{8}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{8}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{8}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{8}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{8}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{8}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 - \sqrt{2} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{15\pi}{16}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{16}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 + \sqrt{2} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{16}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{16}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{3\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{16}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{16}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 - \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{23\pi}{24}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{24}) . ~$

$x^4 - 4x^2 + 2 + \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{5\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{24}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{24}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{5\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{24}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{24}) . ~$

$x^4 - 5x^2 + 5 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{10}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{10}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{10}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{10}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{5}), \qquad 2\sin(\frac{-\pi}{5}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{5}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{5}) . ~$

$x^4 - x^3\sqrt{5} - 2x^2 + 2x\sqrt{5} + 5 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{2\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{15}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{13\pi}{30}) . ~$

$2x^4 - (1 - \sqrt{17})x^3 - (3 + \sqrt{17})x^2 - 2(2 + \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{15\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{15\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-1\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-13\pi}{34}) . ~$

$2x^4 - (1 + \sqrt{17})x^3 - (3 - \sqrt{17})x^2 - 2(2 - \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{3\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{11\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{34}) . ~$

$2x^4 + (1 + \sqrt{17})x^3 - (3 - \sqrt{17})x^2 + 2(2 - \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{6\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{10\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{12\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{14\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{5\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{34}) . ~$

$2x^4 + (1 - \sqrt{17})x^3 - (3 + \sqrt{17})x^2 + 2(2 + \sqrt{17})x - 2 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{17})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{17}), \qquad 2\cos(\frac{16\pi}{17}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{13\pi}{34}), \qquad 2\sin(\frac{-15\pi}{34}) . ~$

$x^4 + x^3\sqrt{5} - 2x^2 - 2x\sqrt{5} + 5 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{5})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{4\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{15}), \qquad 2\cos(\frac{14\pi}{15}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{-11\pi}{30}), \qquad 2\sin(\frac{-13\pi}{30}) . ~$

$x^4 - x^3\sqrt{2} - 3x^2 + 3x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{20}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{20}) . ~$

$x^4 + x^3\sqrt{2} - 3x^2 - 3x\sqrt{2} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{20}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{20}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{20}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{20}) . ~$

$x^4 - x^3\sqrt{15} + 4x^2 - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{15})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{11\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{30}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{4\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{15}) . ~$

$x^4 + x^3\sqrt{15} + 4x^2 - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{15})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{13\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{23\pi}{30}), \qquad 2\cos(\frac{29\pi}{30}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{-4\pi}{15}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{15}) . ~$

[modifier] Polynômes du cinquième degré

$x^5 + x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 3x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{2\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{4\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{6\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{8\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{10\pi}{11}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{7\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-9\pi}{22}). ~$

$x^5 - x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 3x - 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{3\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{11}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{11}). ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{-7\pi}{22}), \qquad 2\sin(\frac{9\pi}{22}). ~$

$x^5 + x^4\sqrt{11} - 3x^2\sqrt{11} - 11x - \sqrt{11} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{3\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{13\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{15\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{17\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{21\pi}{22}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{-\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-2\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-3\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{4\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-5\pi}{11}) . ~$

$x^5 - x^4\sqrt{11} + 3x^2\sqrt{11} - 11x + \sqrt{11} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

$2\cos(\frac{\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{5\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{7\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{9\pi}{22}), \qquad 2\cos(\frac{19\pi}{22}) . ~$

Qui peuvent aussi se mettre sous la forme :

$2\sin(\frac{\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{2\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{3\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{-4\pi}{11}), \qquad 2\sin(\frac{5\pi}{11}). ~$

Etc...

[modifier] Polynômes minimaux de nombres de la forme tan(k $π$ /n).

Ci-dessous se trouvent, dans l'ordre des degrés croissants, les premiers polynômes minimaux des nombres de la forme tan(kπ/n).

[modifier] Polynômes du premier degré

$x - 1 \qquad x + 1$

sont respectivement les polynômes minimaux des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{4}), \qquad \tan(\frac{3\pi}{4}). ~$

$x - \sqrt{3} \qquad x + \sqrt{3} \qquad x - \frac{1}{\sqrt{3}} \qquad x + \frac{1}{\sqrt{3}}$

sont respectivement les polynômes minimaux dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{3}), \qquad \tan(\frac{2\pi}{3}), \qquad \tan(\frac{\pi}{6}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{6}). ~$

[modifier] Polynômes du second degré

$x^2 - 4x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{12}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{12}). ~$

$x^2 + 4x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{7\pi}{12}), \qquad \tan(\frac{11\pi}{12}). ~$

$x^2 - 2x\sqrt{2} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{8}), \qquad \tan(\frac{3\pi}{8}). ~$

$x^2 + 2x\sqrt{2} + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{5\pi}{8}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{8}). ~$

[modifier] Polynômes du troisième degré

$x^3 + x^2\sqrt{7} - 7x + \sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{7}), \qquad \tan(\frac{2\pi}{7}), \qquad \tan(\frac{4\pi}{7}). ~$

$x^3 - x^2\sqrt{7} - 7x - \sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{3\pi}{7}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{7}), \qquad \tan(\frac{6\pi}{7}). ~$

$x^3 - 3x^2\sqrt{3} - 3x + \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{9}), \qquad \tan(\frac{4\pi}{9}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{9}). ~$

$x^3 + 3x^2\sqrt{3} - 3x - \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{2\pi}{9}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{9}), \qquad \tan(\frac{8\pi}{9}). ~$

$x^3 + x^2\sqrt{7} + x - \frac{1}{\sqrt{7}} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{14}), \qquad \tan(\frac{9\pi}{14}), \qquad \tan(\frac{11\pi}{14}). ~$

$x^3 - x^2\sqrt{7} + x + \frac{1}{\sqrt{7}} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{3\pi}{14}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{14}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{14}). ~$

$x^3 - x^2\sqrt{3} - 3x + \frac{1}{\sqrt{3}} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{18}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{18}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{18}). ~$

$x^3 + x^2\sqrt{3} - 3x - \frac{1}{\sqrt{3}} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{5\pi}{18}), \qquad \tan(\frac{11\pi}{18}), \qquad \tan(\frac{17\pi}{18}). ~$

$(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})x^3 + x^2 - (2\sqrt{7} + \sqrt{3})x + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{4\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{16\pi}{21}). ~$

$(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})x^3 + x^2 - (2\sqrt{7} - \sqrt{3})x + 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{2\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{8\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{11\pi}{21}). ~$

$(2\sqrt{7} - 3\sqrt{3})x^3 - x^2 - (2\sqrt{7} - \sqrt{3})x - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{10\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{19\pi}{21}). ~$

$(2\sqrt{7} + 3\sqrt{3})x^3 - x^2 - (2\sqrt{7} + \sqrt{3})x - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{5\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{17\pi}{21}), \qquad \tan(\frac{26\pi}{21}). ~$

$x^3 - (4 - \sqrt{7})x^2 - (11 - 4\sqrt{7})x + 8 - 3\sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{9\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{25\pi}{28}). ~$

$x^3 - (4 + \sqrt{7})x^2 - (11 + 4\sqrt{7})x + 8 + 3\sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{5\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{17\pi}{28}). ~$

$x^3 + (4 + \sqrt{7})x^2 - (11 + 4\sqrt{7})x - 8 - 3\sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{11\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{15\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{23\pi}{28}). ~$

$x^3 + (4 - \sqrt{7})x^2 - (11 - 4\sqrt{7})x - 8 + 3\sqrt{7} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{7})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{3\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{19\pi}{28}), \qquad \tan(\frac{27\pi}{28}). ~$

$x^3 - 3(2 - \sqrt{3})x^2 - 3x + 2 - \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{25\pi}{36}). ~$

$x^3 - 3(2 + \sqrt{3})x^2 - 3x + 2 + \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{5\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{17\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{29\pi}{36}). ~$

$x^3 + 3(2 + \sqrt{3})x^2 - 3x - 2 - \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{7\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{19\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{31\pi}{36}). ~$

$x^3 + 3(2 - \sqrt{3})x^2 - 3x - 2 + \sqrt{3} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{11\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{23\pi}{36}), \qquad \tan(\frac{35\pi}{36}). ~$

[modifier] Polynômes du quatrième degré

$x^4 - 10x^2 + 5 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{5}), \qquad \tan(\frac{2\pi}{5}), \qquad \tan(\frac{3\pi}{5}) \qquad \tan(\frac{4\pi}{5}) . ~$

$x^4 - 2x^2 + 2 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{10}), \qquad \tan(\frac{3\pi}{10}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{10}) \qquad \tan(\frac{7\pi}{10}) . ~$

$x^4 - 4x^3 - 14x^2 - 4x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{20}), \qquad \tan(\frac{9\pi}{20}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{20}) \qquad \tan(\frac{17\pi}{20}) . ~$

$x^4 + 4x^3 - 14x^2 + 4x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{3\pi}{20}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{20}), \qquad \tan(\frac{11\pi}{20}) \qquad \tan(\frac{19\pi}{20}) . ~$

$x^4 + 8x^3 + 2x^2 - 8x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{24}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{24}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{24}) \qquad \tan(\frac{17\pi}{24}) . ~$

$x^4 - 8x^3 + 2x^2 + 8x + 1 ~$

Est le polynôme minimal des nombres :

$\tan(\frac{7\pi}{24}), \qquad \tan(\frac{11\pi}{24}), \qquad \tan(\frac{19\pi}{24}) \qquad \tan(\frac{23\pi}{24}) . ~$

$x^4 + 4x^3\sqrt{2} + 2x^2 - 4x\sqrt{2}+ 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{16}), \qquad \tan(\frac{3\pi}{16}), \qquad \tan(\frac{9\pi}{16}) \qquad \tan(\frac{11\pi}{16}) . ~$

$x^4 - 4x^3\sqrt{2} + 2x^2 + 4x\sqrt{2}+ 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{2})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{5\pi}{16}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{16}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{16}) \qquad \tan(\frac{15\pi}{16}) . ~$

$x^4 + 6x^3\sqrt{3} + 8x^2 - 2x\sqrt{3} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{2\pi}{15}), \qquad \tan(\frac{8\pi}{15}), \qquad \tan(\frac{11\pi}{15}) \qquad \tan(\frac{14\pi}{15}) . ~$

$x^4 - 6x^3\sqrt{3} + 8x^2 + 2x\sqrt{3} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{15}), \qquad \tan(\frac{4\pi}{15}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{15}) \qquad \tan(\frac{13\pi}{15}) . ~$

$x^4 - 2x^3\sqrt{3} - 8x^2 + 6x\sqrt{3} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{30}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{30}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{30}) \qquad \tan(\frac{19\pi}{30}) . ~$

$x^4 + 2x^3\sqrt{3} - 8x^2 - 6x\sqrt{3} - 1 ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{3})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{11\pi}{30}), \qquad \tan(\frac{17\pi}{30}), \qquad \tan(\frac{23\pi}{30}) \qquad \tan(\frac{29\pi}{30}) . ~$

[modifier] Polynômes du cinquième degré

$x^5 + 3x^4\sqrt{11} + 22x^3 + 2x^2\sqrt{11} - 11x - \sqrt{11} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{2\pi}{11}), \qquad \tan(\frac{6\pi}{11}), \qquad \tan(\frac{7\pi}{11}) \qquad \tan(\frac{8\pi}{11}), \qquad \tan(\frac{10\pi}{11}). ~$

$x^5 - 3x^4\sqrt{11} + 22x^3 - 2x^2\sqrt{11} - 11x + \sqrt{11} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{11}), \qquad \tan(\frac{3\pi}{11}), \qquad \tan(\frac{4\pi}{11}) \qquad \tan(\frac{5\pi}{11}), \qquad \tan(\frac{9\pi}{11}). ~$

$x^5 - x^4\sqrt{11} - 2x^3 + 2x^2\sqrt{11} - 3x + \frac{1}{\sqrt{11}} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{\pi}{22}), \qquad \tan(\frac{3\pi}{22}), \qquad \tan(\frac{5\pi}{22}) \qquad \tan(\frac{9\pi}{22}), \qquad \tan(\frac{15\pi}{22}). ~$

$x^5 + x^4\sqrt{11} - 2x^3 - 2x^2\sqrt{11} - 3x - \frac{1}{\sqrt{11}} ~$

Est le polynôme minimal dans $\mathbb{Q}(\sqrt{11})[X]$ des nombres :

$\tan(\frac{7\pi}{22}), \qquad \tan(\frac{13\pi}{22}), \qquad \tan(\frac{17\pi}{22}) \qquad \tan(\frac{19\pi}{22}), \qquad \tan(\frac{21\pi}{22}). ~$

Etc...

[modifier] Formules générales en relation avec les coefficients des polynomes minimaux trigonométriques.

On trouvera ci-dessous quelques formules relatives aux relations entre coefficients et racines d'un polynome annulateur des nombres trigonométriques traités dans cet article. Certaines de ces formules font apparaître au second membre la racine d'un diviseur du dénominateur se trouvant dans l'argument des fonctions trigonométriques au premier membre. Ce qui permet d'entrevoir les raisons pour lesquelles, on trouve dans les coefficients du polynôme minimal de telle racines.

[modifier] Formules de sommations

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \sum_{k=1}^n \cos\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right) = -\frac{1}{2} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \sum_{k=1}^n \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right) = 0 ~$

[modifier] Formules de produits

(Dans ce qui suit Ent(x) désigne la partie entière de x)

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{1}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^n \sin\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{\sqrt{2n+1}}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^n \tan\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \sqrt{2n+1} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^n \cos\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right) = \frac{(-1)^{Ent(\frac{n-1}{2})}}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^n \sin\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right) = \frac{\sqrt{2n+1}}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^n \tan\left(\frac{2k\pi}{2n+1}\right) = (-1)^{Ent(\frac{n-1}{2})}\sqrt{2n+1} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}-\left\{0,1\right\} \qquad \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}-\left\{0,1\right\} \qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = \frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}-\left\{0,1\right\} \qquad \prod_{k=1}^{n-1} \tan\left(\frac{k\pi}{2n}\right) = 1 ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{2n} \cos\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{1}{(-4)^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{2n} \sin\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \frac{n}{4^{n-1}} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{2n} \tan\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = (-1)^n(2n+1) ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{n} \tan\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right) = 1 ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n+2}\right) = \frac{\sqrt{2n+1}}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n+2}\right) = \frac{1}{2^n} ~$

$\forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k=1}^{n} \tan\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n+2}\right) = \frac{1}{\sqrt{2n+1}} ~$

Dans la suite, on désignera par P(n), l'ensemble des nombres entiers inférieurs à n et premier avec n. Par exemple :

$P(15) = \left\{ 1,2,4,7,8,11,13,14 \right\}$

On désignera aussi par $\mathbb{P}$ , l'ensemble des nombres premiers.

On a alors :

$\forall n \in \mathbb{N}-\left\{0,1\right\} \qquad \prod_{k \in P(4n)} \tan\left(\frac{k\pi}{4n}\right) = 1 ~$

$\forall p \in \mathbb{P}-\left\{2\right\}, \forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k \in P(p^n)} \tan\left(\frac{k\pi}{p^n}\right) = (-1)^\frac{p-1}{2}p ~$

$\forall p \in \mathbb{P}-\left\{2\right\}, \forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k \in P(2p^n)} \tan\left(\frac{k\pi}{2p^n}\right) = \frac{(-1)^\frac{p-1}{2}}{p} ~$

Pour tout n ayant au moins 2 nombres premiers impairs dans sa décomposition en facteurs premiers, on a :

$\prod_{k \in P(n)} \tan\left(\frac{k\pi}{n}\right) = 1 ~$

Pour tout n qui n'est pas une puissance de 2, on a :

$\prod_{k \in P(4n)} 2\cos\left(\frac{k\pi}{4n}\right) = 1 ~$

$\forall n \in \mathbb{N}-\left\{0,1,2\right\} \qquad \prod_{k \in P(2^n)} 2\cos\left(\frac{k\pi}{2^n}\right) = 2 ~$

$\forall p \in \mathbb{P}-\left\{2\right\}, \forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k \in P(p^n)} 2\cos\left(\frac{k\pi}{p^n}\right) = (-1)^\frac{p-1}{2} ~$

$\forall p \in \mathbb{P}-\left\{2\right\}, \forall n \in \mathbb{N}^* \qquad \prod_{k \in P(2p^n)} 2\cos\left(\frac{k\pi}{2p^n}\right) = (-1)^\frac{p-1}{2}p ~$

Pour tout n ayant au moins 2 nombres premiers impairs dans sa décomposition en facteurs premiers, on a :

$\prod_{k \in P(n)} 2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = 1 ~$

Si 2n+1 est une puissance d'un nombre premier p,

$\prod_{k \le n, k \in P(2n+1)} \tan\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = \sqrt{p} ~$

Si 2n+1 contient au moins deux nombres premiers distincts dans sa décomposition en facteurs premiers,

$\prod_{k \le n, k \in P(2n+1)} \tan\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right) = 1 ~$

Etc...

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Polynôme minimal trigonométrique

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Sommaire

[modifier] Polynôme minimaux de nombres de la forme 2cos(k $π$ /n) ou 2sin(k $π$ /n).

[modifier] Polynômes du premier degré

[modifier] Polynômes de second degré

[modifier] Polynômes du troisième degré

[modifier] Polynômes du quatrième degré

[modifier] Polynômes du cinquième degré

[modifier] Polynômes minimaux de nombres de la forme tan(k $π$ /n).

[modifier] Polynômes du premier degré

[modifier] Polynômes du second degré

[modifier] Polynômes du troisième degré

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[modifier] Formules générales en relation avec les coefficients des polynomes minimaux trigonométriques.

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