Relations entre coefficients et racines

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Sommaire

[modifier] Cas du second degré

Soit la fonction polynômiale x -> P(x)=ax^2+bx+c\, et ses racines x_1\, etx_2\, (éventuellement égales). Alors x_1+x_2=-\frac{b}{a}\, et x_1x_2=\frac{c}{a}\,.

[modifier] Démonstration

Puisque x_1\, etx_2\, sont ses racines,P se factorise en P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\,.
En développant, on obtient :P(x)=ax^2-ax_2x-ax_1x+ax_1x_2\,.
Donc : -ax_2x-ax_1x=bx\, et ax_1x_2=c\,, d'où le résultat en divisant les deux membres de chaque égalité par a\,(pour la première égalité, il faut avoir factorisé par a\, au préalable).

[modifier] Cas du troisième degré

Soit le polynôme P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\, et ses racines x_1\, ,x_2\, et x_3\, (éventuellement égales).

Alors, x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\, ,x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}\, et x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\,

[modifier] Démonstration

Puisque x_1\, ,x_2\, et x_3\, sont les racines de P, P se factorise en P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\,

En développant, on obtient: P(x)=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3\,

Donc, en identifiant membre à membre: -a(x_1+x_2+x_3)=b\, , a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=c\, et -ax_1x_2x_3=d\,

D'où le résultat.

[modifier] Généralisation

Soit le polynôme P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0 et ses racines x_1,x_2,\ldots,x_n éventuellement confondues.

Alors:

\sigma_1=\sum_{i=1}^n x_i=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\,

\sigma_2=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n} x_ix_j=\frac{a_{n-2}}{a_n}\,

\sigma_k=\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_k\leqslant n} x_{i_1}x_{i_2}\ldots x_{i_k}=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n}\,

\sigma_n=x_1x_2\ldots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}\,