Pfaffien

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En mathématiques, le déterminant d'une matrice antisymétrique peut toujours être exprimé comme carré d'un polynôme des coefficients de la matrice. Ce polynôme est appelé le Pfaffien, ou le déterminant pfaffien, de la matrice. Le polynôme ne s'annule pas dans le seul cas des matrices antisymétriques 2n × 2n, son degré est alors n.

Le Pfaffien d'une matrice A est noté $\mathrm{Pf} \left( A \right)$ .

Sommaire

1 Histoire
2 Applications
3 Définition formelle
- 3.1 Simplification
- 3.2 Définition alternative
4 Exemples
5 Identités remarquables
6 Voir aussi

[modifier] Histoire

Le terme « Pfaffien » fut introduit par Arthur Cayley, qui l'utilisa en 1852 : « Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerais Pfaffiens » . Le mathématicien allemand à qui il fait référence est Johann Friedrich Pfaff.

[modifier] Applications

le Pfaffien est une polynôme invariant d'une matrice antisymétrique (il n'est pas invariant par changement de base, mais par une transformation orthogonale). Il peut être utilisé pour définir la classe d'Euler d'une variété riemannienne utilisé dans le théorème généralisé de Gauss-Bonnet.

On utilise le Pfaffien en physique pour calculer la fonction de partition des modèles d'Ising. On l'utilise depuis peu pour établir des algorithmes plus efficaces pour résoudre des problèmes, par exemple des simulations de physique quantique.

[modifier] Définition formelle

Soit A = {a_i,j} une matrice antisymétrique 2n×2n. Le Pfaffien de A est défini par :

$\mathrm{Pf}(A) = \frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_{2n}}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}$

où S_2n est le groupe symétrique et sgn(σ) est la signature de σ.

[modifier] Simplification

Cette définition peut être simplifiée en utilisant l'antisymétrie de la matrice, ce qui évite d'additionner toutes les permutations possibles.

Soit Π l'ensemble de toutes les partitions de {1, 2, …, 2n} en paires, indépendamment de l'ordre. Il y en a (2n − 1). Un élément α ∈ Π peut être écrit sous la forme :

$\alpha=\{(i_1,j_1),(i_2,j_2),\cdots,(i_n,j_n)\}$

avec i_k < j_k et $i_1 < i_2 < \cdots < i_n$ . Soit

$\pi=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & 2n \\ i_1 & j_1 & i_2 & j_2 & \cdots & j_{n} \end{bmatrix}$

la permutation correspondante. Elle ne dépend que de α, indépendamment du choix de π. Étant donnée une partition α,

$A_\alpha =\operatorname{sgn}(\pi)a_{i_1,j_1}a_{i_2,j_2}\cdots a_{i_n,j_n}.$

Le Pfaffien de A est alors :

$\operatorname{Pf}(A)=\sum_{\alpha\in\Pi} A_\alpha.$

Le Pfaffien d'une matrice antisymétrique n×n pour n impair est défini nul.

[modifier] Définition alternative

On peut associer, à toute matrice antisymétrique 2n×2n A ={a_ij}, un bivecteur :

$\omega=\sum_{i<j} a_{ij}\;e^i\wedge e^j.$

où {e¹, e², …, e²ⁿ} est la base canonique de R²ⁿ. Le Pfaffien est alors défini par :

$\frac{1}{n!}\omega^n = \mbox{Pf}(A)\;e^1\wedge e^2\wedge\cdots\wedge e^{2n},$

Ici, ωⁿ dénote le produit extérieur de n copies de ω avec lui-même.

[modifier] Exemples

$\mbox{Pf}\begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}=a.$

$\mbox{Pf}\begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{pmatrix}=af-be+dc.$

$\mbox{Pf}\begin{pmatrix}\begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\\vdots & & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ \lambda_n & 0\end{matrix}\end{pmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$