Opposé (mathématiques)

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[modifier] Définition générale

Soient ( G , + ) un groupe , dont la loi de composition interne est notée additivement et dont l’élément neutre est noté 0 , et x un élément quelconque de G :

On appelle opposé de x et on note -x , l’élément symétrique de x , i.e l’unique élément -x de G tel que : x + (-x) = (-x) + x = 0 .

[modifier] Cas particulier des nombres

L’opposé d’un nombre n est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro.

Par exemple:

L’opposé de 7 est égal à -7; parce que 7+(-7)=0,
l’opposé de -0,3 est 0,3 parce que -0,3+0,3=0.

Ainsi d’après le dernier exemple -(-0,3)=0,3.

Plus généralement, si E est un ensemble muni d’une loi d’addition associative et commutative. L’opposé d’un élément x de E est le symétrique (s’il existe) de cet élément, et est noté en général -x.

Si de plus tous les éléments de E sont symétrisables pour la loi d’addtion, il est possible de définir une loi de $\mathbb{Z}\times E$ dans E par

$\forall n\in\mathbb{Z}, \forall x\in E, n.x=\left\{\begin{matrix}\underbrace{x+x+\ldots+x} & {\ \rm si\ }n>0\\{}_{n{\ \rm fois}}\\0 & {\ \rm si\ }n=0\\\underbrace{(-x)+(-x)+\ldots+(-x)} & {\ \rm si\ }n<0\\{}_{-n\ {\rm fois}}\end{matrix}\right.$

Dans les cas particuliers des ensembles $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ , le produit (pour la multiplication interne) d’un nombre par -1 est égal à l’opposé de ce nombre.

Les nombres admettant un opposé pour l’addition sont

Les nombres n’ayant pas d’opposé pour l’addition sont

Mais nous savons que pour construire l’ensemble ses entiers relatifs à partir de l’ensemble des entiers naturels, il suffit d’inclure formellement à ce dernier, les opposés des entiers naturels.

Ainsi nous pouvons dire que l’ensemble des entiers naturels n’est pas stable pour l’opposé, parce que leurs opposés ne sont pas des entiers naturels.