Nombre double de Mersenne

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En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme

M_{M_n} = 2^{2^n-1}-1

où n est un entier positif.

Les premiers petits nombres doubles de Mersenne sont :

M_{M_1} = M_1 = 1\,


M_{M_2} = M_3 = 7\,


M_{M_3} = M_7 = 127\,


M_{M_4} = M_{15} = 32767 = 7 \times 31 \times 151\,


M_{M_5} = M_{31} = 2147483647\,


M_{M_6} = M_{63} = 9223372036854775807 = 7^2 \times 73 \times 127 \times 337 \times 92737 \times 649657\,


M_{M_7} = M_{127} = 170141183460469231731687303715884105727\,

Un nombre double de Mersenne qui est premier est appelé un nombre premier double de Mersenne. Puisque un nombre de Mersenne M_n\, peut être premier si et seulement si n est premier, (voir nombre de Mersenne pour une démonstration de ceci), un nombre double de Mersenne M_{M_n}\, est premier seulement si M_n\, est premier. Les premières valeurs de n pour lesquelles ceci est vrai sont n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. De celles-ci, M_{M_n}\, est connu pour être premier pour n = 2, 3, 5, 7; pour n = 13, 17, 19, et 31, des facteurs explicites ont été trouvés. Si un autre nombre premier double de Mersenne est un jour trouvé, il serait presque certainement le plus grand nombre premier jamais connu.

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