Discuter:Nombre cardinal

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Cet article devrait être fusionné avec l'article cardinalité qui fait doublon, plutôt sous le titre du présent article, mais plutôt avec le contenu de l'article cardinalité qui est plus complet, même s'il est encore imparfait. Theon 15 février 2006 à 19:25 (CET)

Fusion avec l'article Cardinalité effectuée. Theon 28 février 2006 à 09:58 (CET)

Je ne suis pas très familier avec la théorie des ensembles, mais y a-t-il une différence entre $\varnothing$ et $\emptyset$ ? Si ce n'est pas le cas, je serais tenté de recommander l'usage du second plutôt que le premier.

83.112.205.254 8 janvier 2007 à 22:33 (CET)

Ai modifié la 1ère phrase du 1er exemple : où l'on note $2^{\aleph_0}$ le cardinal de l'ensemble des fonctions de $\aleph_0$ dans ${0,1}$ , équipotent à $\mathfrak P(\aleph_0)$ . ... est devenu : où l'on note $2^{\aleph_0}$ le cardinal de l'ensemble des fonctions de $\aleph_0$ dans ${0,1}$ , équipotent à $\mathfrak P(\mathbb{N})$ .

Dans ce même exemple, l'égalité $\mathrm{card} (\mathbb{R}) = 2^{\aleph_0}$ ne me semble pas aller d'elle même. Je peux en écrire une démonstration, qui complèterait l'exemple. 83.112.205.254 8 janvier 2007 à 22:33 (CET)

[modifier] Fission d'article

« Fission » ? On ne rigole plus, dites donc... Salle 8 septembre 2007 à 01:28 (CEST)

Si, justement. Je ne savais pas comment se disait ici le contraire d'une fusion. Je me suis dit qu'un peu d'humour dans ce monde de wikibrutes ne pouvait pas faire de mal.--Ambi graphe, le 8 septembre 2007 à 16:52 (CEST)

À la lumière de la discussion à propos des cardinaux et de l'hypothèse du continu, je me dis que cette page aurait peut-être intérêt à être scindée entre Nombre cardinal et Cardinalité, cette dernière notion pouvant regrouper les calculs de cardinaux finis et capter les liens qui la concernent (d'où mes modifications de liens courant juin).--Ambi graphe, le 7 septembre 2007 à 14:11 (CEST)

Je suis parfaitement d'accord avec cette distinction ; elle me semble indispensable. Mais il faut attendre d'avoir d'autres avis. Ekto - Plastor 7 septembre 2007 à 14:33 (CEST)

D'accord pour deux articles et pour distinguer cardinalité finie (plus de la combinatoire que de la théorie des ensembles) mais pourquoi "cardinalité" renverrait plus à "cardinalité finie" ? Proz 7 septembre 2007 à 15:41 (CEST)

Dans mon esprit, la cardinalité ne renvoie pas seulement au cas fini mais se départit des questions d'axiome du choix et des alephs pour n'utiliser que l'équipotence. Cela suffit donc pour dire la droite réel a même cardinalité que l'ensemble des parties du dénombrable, mais c'est moins pratique pour discuter de l'hypothèse du continu.--Ambi graphe, le 7 septembre 2007 à 15:56 (CEST)

Je suis d'accord : la cardinalité n'a rien à voir avec l'axiome du choix, et même se définit indépendamment de l'existence ou l'inexistence d'ensembles infinis. L'article "cardinalité" contiendrait une importante partie Histoire et devrait à mon avis comporter un lien visible vers Nombre cardinal. Ekto - Plastor 7 septembre 2007 à 16:19 (CEST)

J'avais mal compris. La séparation en deux articles me semble alors assez artificielle, et disons que les titres ne sont pas très éclairants sur la distinction. Par contre l'article devrait commencer par se restreindre à ce que vous appelez cardinalité, qui si je comprends bien est l'approche la plus élémentaire (classes d'équipotence), et se concentrer d'abord sur les ensembles familiers N, R, R^n ...). On arrive vite à des résultats qui dépendent de AC : un ensemble infini est équipotent à son carré cartésien, totalité de la subpotence. La définition des cardinaux à partir des ordinaux et tout ce qui en dépend (notation aleph) ne devrait venir qu'ensuite. Par contre je trouve que la combinatoire (section "opérations ensemblistes" actuelle) n'est pas vraiment à sa place. Proz 7 septembre 2007 à 18:02 (CEST)

Non, la séparation en deux articles ne me semble pas superficielle, loin de là. Les nombres cardinaux nécessitent d'être définis, et pour qui n'a jamais entendu parler de théorie des ensembles, la définition n'est pas immédiatement compréhensible ; pour autant, l'article est nécessaire, utile, et doit commencer par une définition claire ; au contraire, la cardinalité est une notion dont les gens auront plus facilement entendu parler. Evidemment, les notions de cardinalité ne peuvent être comprises sérieusement qu'à travers la définition et l'étude des nombres cardinaux. Enfin, la cardinalité regroupe les notions élémentaires de cardinalité vues en premier cycle universitaire (cardinalité d'un ensemble fini).

Je pense qu'une séparation est réellement souhaitable mais ne pourra être perçue comme réellement intéressante et enrichissante que si est proposée un premier aperçu du nouvel article Cardinalité. Kelemvor 7 septembre 2007 à 18:15 (CEST)

Effectivement. Pour répondre à Proz, l'article sur la cardinalité n'a pas vocation (selon moi) à être une théorie des cardinaux en dehors des ordinaux, mais à aborder la notion du point de vue du dénombrement et de l'équipotence sur des exemples particuliers. Il n'est point besoin des ordinaux pour montrer que la droite réelle est en bijection avec l'ensemble de ses parties finies, ou que l'ensemble des germes de fonctions réelles est en bijection avec l'ensemble des parties de R. Pour tous les raisonnements sur les ensembles en général, et en particulier pour montrer qu'un ensemble infini est équipotent à son carré cartésien, on peut sans problème renvoyer à l'article sur les nombres cardinaux.--Ambi graphe, le 7 septembre 2007 à 20:39 (CEST)

[modifier] Articles liés à la cardinalité

Je liste ici les articles ayant un rapport étroit avec la notion de cardinalité : difficile de savoir dans quel sens modifier celui-ci sans regarder les autres, il devrait proablement donner une présentation générale et rediriger pour les détails sur ceux-ci). A terme, je me demande s'il ne faudrait pas les regrouper dans une même catégorie (il y a la catégorie:nombre cardinal mais probablement "cardinalité" sous-catégorie de catégorie:théorie des ensembles serait mieux, la catégorie:infini est hétéroclite). Ils sont plus ou moins développés, en général il y a fort à faire (voir aussi l'encyclopédie anglaise, souvent plus complète).

équipotence (pourrait être développé dans le sens cardinalité "élémentaire" ?)
ensemble fini, ensemble infini (il devrait y avoir des discussions sur la définition de fini/infini);
dénombrement (pourrait être développé, il y a aussi combinatoire)
ensemble dénombrable et ensemble indénombrable ("indénombrable" ne me semble pas correct, ce dernier article ne semble pas indispensable) ;
puissance du continu ;
aleph-0, aleph-1, aleph (nombre) (à fusionner à mon avis, et reprendre) ;
Théorème de Cantor-Bernstein, Théorème de Cantor (éventuellement Argument de la diagonale de Cantor, mais qui ne doit pas parler que de cardinalité)
nombre transfini (parle aussi d'ordinal) ;
hôtel de Hilbert:
théorèmes de König (théorie des ensembles) ;
hypothèse du continu ;
paradoxe de Cantor ;

et j'en oublie probablement ... Proz 7 novembre 2007 à 23:47 (CET)

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[modifier] Fission d'article

[modifier] Articles liés à la cardinalité

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