Nilradical

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[modifier] Définition

Le nilradical de A est l'ensemble $Nil(A) = \{ a \in A : \exists n \in \mathbb{N} \ a^n=0 \}$ , c'est-à-dire l'ensemble des nilpotents.

[modifier] Propriétés

1) Nil(A) est un idéal.

2) Si P est un idéal premier, alors $Nil(A) \subset P$

3) $s \in A - Nil(A) \Rightarrow \exists P \ ideal\ premier \ tel\ que\ s \notin P$ (ceci est une conséquence de l'axiome du choix)

4) Nil(A) est l'intersection de tous les idéaux premiers de A (également conséquence de l'axiome du choix)

5) $A /\ Nil(A)$ n'a pas d'éléments nilpotents

Démonstrations

1) $o \in Nil(A)$

$x \in nil(A) \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} x^n=0 \Rightarrow (-x)^n = (-1)^n*x^n = 0 \Rightarrow -x \in Nil(A)$

$(x,y)\in Nil(A)^2 \Rightarrow \exists (n,m) \in \mathbb{N}^2 \ x^m=y^n=0 \Rightarrow (x+y)^{n+m} = 0$ (voir la formule du binôme de Newton).

Nil(A) est ainsi un sous groupe additif de A.

$(a,i) \in A * Nil(A) \Rightarrow \exists n \in \mathbb{N} \ i^n =0 \Rightarrow (ai)^n=a^n*i^n=0 \Rightarrow ai \in Nil(A)$

Donc Nil(A) est un idéal de A.

2) Soit P un idéal premier. On a alors $o \in P$ .

$Si \ x \in Nil(A) \ alors \ \exists n \in \mathbb{N} \ x^n =0$

On a donc $x*x*x....*x \in P$ et ainsi $x \in P$ car P premier.

3) Soit $s \notin Nil(A)$ . Posons $S = {1, s, s 2, s 3 ........}$ et $I = \{ J \ ideaux\ de\ A\ tel\ que\ J \cap S = \emptyset \}$ .

" $\subseteq$ " est un ordre inductif sur I. D'où d'après le lemme de Zorn, I admet un élément maximal. Notons le P.

Supposons que P ne soit pas premier.

Soit $(x,y) \in A \ tel \ que\ xy \in P \ avec \ x \notin P \ et \ y \notin P$ $x \notin P \Rightarrow P + xA \notin I \Rightarrow (P+xA)\cap S \ne \emptyset \Rightarrow \exists (a,k,p) \in A*\mathbb{N}*P \ tel \ que \ p+ax=s^k$

De même $\exists (b,l,q) \in A*\mathbb{N}*P \ tel \ que \ q+by=s^l$

On a ainsi $s k + l = (a x + p)(b y + q) = a b x y + a x q + p b y + p q$

Or $(abxy,axq,pby,pq) \in P^4$

Donc $s^{k+l} \in P$ , d'où la contradiction.

Donc P est un idéal premier.

4) La démonstration découle de 2) et 3)

5) Soit $\bar x \in A /\ Nil(A)$ . ${\bar x}^n=\bar 0 \Rightarrow x^n \in Nil(A) \Rightarrow \exists m \in \mathbb N \ tel \ que \ (x^n)^m=0 \Rightarrow x \in Nil(A) \Rightarrow \bar x = 0$ CQFD