Multiplicateur de Schur

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En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur, nommé en l'honneur de Issai Schur, est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G avec des coefficients dans les entiers,

H_2(G, {\Bbb Z})\,.

Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que

G \simeq F/R,

alors par la formule intégrale d'homologie de Hopf, nous avons le multiplicateur de Schur

(R \cap [F, F])/[F, R],

où [A, B] est le groupe engendré par les commutateurs

aba^{-1}b^{-1}\,

pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme

H^2(G, \Bbb{C}^\times)

où G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes différents de zéro.

Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son propre sous-groupe de commutateur). Un groupe parfait possède une seule extension centrale parfaite maximale, ou groupe universel de revêtement, dont le centre contient le multiplicateur de Schur et dont le quotient par celui-ci est le groupe parfait.

Le multiplicateur de Schur est dû à Issai Schur, et peut être dit représenter le début de la cohomologie de groupe (ou au moins des groupes plus hauts que H2 etc.).

[modifier] Références

  • Karpilovsky, Gregory: The Schur Multiplier, Oxford University Press, 1987, ISBN 0-19-853554-6.
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