Mesure produit

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Soit 2 espaces mesurables, munis de leur mesures. Il est possible de définir simplement une mesure produit sur l'Ensemble-produit. L'idée de base est de définir un produit cartésien sur une famille d'ensembles, puis de définir une topologie produit.

Soit $(X 1,Σ 1)$ et $(X 2,Σ 2)$ 2 espaces mesurables, c'est-à-dire, $Σ 1$ et $Σ 2$ sont des tribus sur $X 1$ et $X 2$ respectivement, et soit $μ 1$ et $μ 2$ des mesures sur ces espaces. Posons $\Sigma_1 \times\Sigma_2$ la trbu sur le produit cartésien $X_1 \times X_2$ générées par les sous-ensembles de la forme $B_1 \times B_2$ , avec $B_1 \in \Sigma_1$ et $B_2 \in \Sigma_2.$

La mesure produit $\mu_1 \times \mu_2$ est définie comme l'unique mesure sur l'espace mesurable $(X_1 \times X_2, \Sigma_1 \times \Sigma_2)$ satisfaisant la propriété

$(\mu_1 \times \mu_2)(B_1 \times B_2) = \mu_1(B_1) \mu_2(B_2)$

pour tout

$B_1 \in \Sigma_1,\ B_2 \in \Sigma_2.$

En fait, pour chaque ensemble mesurable E,

$(\mu_1 \times \mu_2)(E) = \int_{X_2} \mu_1(E^y)\,\mu_2(dy) = \int_{X_1} \mu_2(E_{x})\,\mu_1(dx),$

avec E_x = {y∈X₂|(x,y)∈E}, et E^y = {x∈X₁|(x,y)∈E}, qui sont tout 2 des ensembles mesurables.

[modifier] Sources

Measure theory and integration, Michael E. Taylor, American Mathematical Society
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product measure ».