Ensemble-produit

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Le produit de deux ensembles est l'ensemble des couples dont le premier élément appartient au premier ensemble, et le deuxième élément appartient au deuxième ensemble.

Le produit de deux ensembles A et B se note A×B.

A \times B = \{(a,b) | a \in A , b \in B\}

On peut évidemment étendre cette notion à un nombre quelconque d'ensembles :

\prod_{i=1}^n A_i = \{(a_i)_{i=1}^n|\forall i, i \in [1;n] \cap \mathbb{N} : a_i \in A_i \}

Le cardinal d'un produit d'ensembles finis est égal au produit (dans N) de leurs cardinaux.

L'ensemble-produit est aussi appelé produit cartésien.

Plus généralement, le produit d'une famille (E_{i})_{i \in I} d'ensembles indexée par un ensemble non vide I est l'ensemble, noté \prod_{i \in I}{E_{i}}, des applications f de I dans \bigcup_{i \in I}{E_{i}} telles que, pour tout i \in I, f(i) \in E_{i}. L'un des énoncés équivalents de l'axiome du choix est: le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide.

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