Méthode du point col

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En mathématiques, la méthode du point col (ou méthode de la descente rapide) permet d'évaluer le comportement asymptotique d'une intégrale complexe du type :

$I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz\,$

lorsque $\lambda\rightarrow +\infty$ . $\mathcal{C}$ est un chemin d'intégration du plan complexe. $f$ et $g$ sont deux fonctions analytiques, et on note $z = x + i y$ , $g (z) = u (z) + i v (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ . Bien que reposant sur des concepts différents, la méthode du point col est généralement considérée comme l'extension de la méthode de la phase stationnaire aux intégrales complexes.

[modifier] Idée générale

L'idée générale de la méthode consiste à déformer le chemin d'intégration grâce au théorème de Cauchy afin d'utiliser un chemin particulier $γ$ , le chemin de descente rapide, sur lequel la partie imaginaire (c-à-d la partie oscillante de l'exponentielle) de la fonction $g$ est constante.

$I(\lambda) = \int_\mathcal{C} f(z) e^{\lambda g(z)} \, dz = \int_\mathcal{\gamma} f(z)e^{\lambda u(z)} e^{i \lambda v(z)} \, dz$

L'intégrale peut alors s'évaluer grâce à la méthode de Laplace. En notant $z s$ le point col de la fonction $g$ , c-à-d le point pour lequel $\partial g/\partial z(z_s)=0$ , on a:

[modifier] Références

N. Bleistein, R.A. Handelsman, Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, 1986 [1975].
L.B. Felsen, N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves, IEEE-Wiley, 1994 [1972], chap. 4.
E.T. Copson, Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.