Discuter:Logique polyvalente

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

J'ai renommé ainsi cet article anciennement appelé "Logique plurivalente". Il faudrait ici parler de l'article d'E. Post de 1921 qui fait en gros la théorie complète des logiques propositionnelles finies-valentes et faire le lien avec les logiques infinies valentes comme la logique floue. Epsilon0 9 mai 2006 à 20:35 (CEST)

Matériel de l'article logiques multi-valuées

J'ai redirigé l'article logique mutivaluées vers celui-ci. Je sauvegarde ci-desous son matérile, si qualqu'un voit quelque chose à en tirer. Pierre de Lyon

Les logiques multivaluées (multi-valued logics en anglais) font partie du domaine des logiques non classiques ; en effet, il est apparu de nombreuses limites à la logique classique, et le remède fut de créer un certain nombre de logiques dites "non classiques" dont les logiques multivaluées.

Pourquoi multivaluée ? Prenons le Paradoxe du barbier : "Le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux même", "Le barbier se rase". Ces deux prédicats conduisent à une contradiction : $\lnot R \Leftrightarrow R$ . Mais si on prend $I (R)$ , la valeur de vérité de $R$ , alors on obtient : $I(R)=I(\lnot R)=1-I(R)=0.5$ .

Les logiques multivaluées ajoutent donc d'autres valeur de vérité, notamment le 0.5 symbole pour certaines d'entre elles de l'indéterminé, de l'absurde, ...

Plusieurs points de vue existent concernant ce type de logique, où chacun définie ses propres opérateurs logiques ainsi que le nombre de valeur de vérité supplémentaire.

[modifier] Historique

Le premier logicien à remettre en question le principe du tiers exclu fut Aristote, qui admit que ses lois ne s'appliqueraient pas complètement à des évènements futurs (De Interpretatione, ch. IX). Mais il ne créa aucun système de logique multi-valuée pour expliquer cette remarque isolée. Le principe du tiers exclu fut admis par les philosophes stoïciens. Par la suite, les logiciens ont utilisé la logique aristotélicienne, qui inclut ou implique le principe du tiers exclu.

L'idée de logique multi-valuée revint au début du vingtième siècle, lorsque le philosophe et logicien polonais Jan Łukasiewicz commença à créer des des systèmes logiques multi-valués en 1920, en utilisant comme troisième valeur "possible". En 1921 le mathématicien américain Emil Post présenta la formulation de degrés de vérité supplémentaires pour des valeurs de vérité $n > 2$ . Jan Łukasiewicz et Alfred Tarski formulèrent une logique sur n valeurs de vérité ( $n > 2$ ). En 1932, Hans Reichenbach mit en place une logique multi-valuée avec n tendant vers l'infini. La même année, Kurt Gödel montra que la logique intuitionniste n'était pas une logique sur un nombre fini de valeurs.

[modifier] La logique multivaluée de Lukasiewicz

Il s'agit d'une logique à trois valeurs :

1 : vrai
0 : faux
0.5 : indéterminé

Voici les définitions des opérateurs logiques :

La négation
A	$\lnot$ A
1	0
1/2	1/2
0	1

L'implication
	0	1/2	1
0	1	1	1
1/2	1/2	1	1
1	0	1/2	1

Remarquons que $A \Rightarrow B$ vaut 1 si $A=B=0.5 \,$ .

La disjonction
$A \lor B$	0	1/2	1
0	0	1/2	1
1/2	1/2	1/2	1
1	1	1	1

Ce ou logique correspond en fait au max(A,B). De plus $A \lor B \equiv (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$ .

La conjonction
$A \land B$	1/2	1
0	0	0
1/2	1/2	1/2
1	1/2	1

Le et logique correspond au min(A,B).

L'équivalence
$A \Leftrightarrow B$	0	1/2	1
0	0	1/2	0
1/2	1/2	1/2	1/2
1	0	1/2	1

La relation d'équivalence $A \Leftrightarrow B$ vaut $(A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A)$ .

Remarques sur cette logique multivaluée :

$A \lor \lnot A$ n'est plus une tautologie ;
on perd le principe du tiers exclu (soit A est vrai, soit A est faux, pas d'autre choix) ;
$A \Leftrightarrow \lnot A$ n'est plus insatisfiable.

[modifier] La logique de Kleene

Il s'agit également d'une logique tri-valuée :

$P(x) \,$ est vrai si $1/2 \le x \le 2\,$ : V
$P(x) \,$ est indéterminé (incalculable) si $x=0 \,$ : I
$P(x) \,$ est faux sinon : F

Seule l'implication diffère de la logique de Lukasiewicz :

L'implication
	F	I	V
F	V	V	V
I	I	I	I
V	F	I	V

[modifier] La logique de Bockvar

Il s'agit encore d'une logique tri-valuée : faux, vrai ou absurde. La particularité de cette logique est que toute formule composée d'une partie absurde est absurde ; d'où les opérateurs logiques suivants :

La négation
A	$\lnot$ A
F	V
A	A
V	F

L'implication
	F	A	V
F	V	A	V
A	A	A	A
V	F	A	V

La conjonction
$A \land B$	F	A	V
F	F	A	F
A	A	A	A
V	F	A	V

[modifier] Les logiques à N-valeurs (1922)

Ces logiques multivaluées prennent, comme leur nom l'indique, un nombre $n$ de valeurs de vérité possibles : $\left\{ 0; \frac{1}{n-1}; \frac{2}{n-1}; \frac{3}{n-1}; ...; \frac{n-2}{n-1}; 1 \right\} \,$