Isopérimétrie
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- L'isopérimétrie désigne la propriété qu'on deux figure géométrique qui ont la même aire.
- Un problème d'isopérimétrie simple consiste à rechercher, parmi des figures fermées planes ayant le même périmètre, quelle est celle qui présente la plus grande surface.
[modifier] Exemples
- Le théorème isopérimétrique affirme que parmi toutes les figures du plan le cercle est la figure qui maximise l'aire pour un périmètre fixé.
- Parmi les rectangles plans dont le périmètre mesure 2*(Lo+la) lequel a l'aire maximale ?
Solution : Comme l'aire vaut Lo*la, il s'agit de trouver la valeur la plus grande possible du produit de deux nombres dont la somme est constante. Ce problème rappellera des choses à quiconque a étudié la résolution d'une équation du second degré. Il existe une autre méthode : si P est la valeur (fixe) de Lo+la, alors Lo=P+x et la=P-x, avec x compris entre 0 et P. Ainsi l'aire est égale à (P+x)*(P-x) soit (identité remarquable) P^2 -x^2. Le maximum est donc P^2, lorsque le rectangle est carré.
